统计学是和数据打交道的科学，那么数据有哪些特征呢，数据一般具有集中的趋势、离散的趋势以及它的一些分布的形态。因此呢，我们这一讲主要来研究数据分布的集中趋势、离散趋势和分布形状。那么集中趋势它是如何测度的，首先我们讲一个实际的例子，比如说在农村我们要扬谷物，那么往上抛谷物的时候，要把这些麦粒也好、或者是米粒也好往上洒，那么下面放一个筐子，往上洒的过程当中，就会绝大多数的麦粒或者谷粒它就落入筐子当中，少部分落入筐外。那么也就是说在自然界当中，有数据向中间值集中的这种趋势，那么这是一种自然的现象。那么我们如何来测度这种集中趋势，不同的指标我们有不同的测量方法。首先我们介绍一种重数，什么叫重数，从它的自面我们可以看出，一组数据当中出现次数最多的那个变量，我们就把它叫重数，那么是不是所有的数据都具有重数，未必，因为比如说10、5、9、12、6、8这一足数，没有一个重数，大家都出现的频数都是一样的。那么比如说6、5、9、8、5、5，这一组数呢，5出现了3次，因此5就是重数，而且只有一个。还有一组数，你比如说25、28、28、36、42、42、38，这时候25、28和42各出现2次，那么也就是说它有2个重数。换句话说，一组数据当中，可能没有重数，也可能只有一个重数，也可能没有重数。 那么重数有哪些特点，首先它不受极端值的影响，就是说在这一组数当中出现最多的数，不会因为你来了一个最大值或者来了一个最小值而发生改变，因为大多数，只有大多数的值才是重数。那么它一个缺点就是可能没有重数和多个重数。在哲学当中或者在生活当中，少数服从多数就是重数的一个应用。那么这种情况下重数，我们主要用为分类数据或者是顺序数据，当然也可以用在数值数据当中。比如说在对家庭，比如说某市家庭对某房产的评价的频数分布图，有不满意的有24户，占8%，非常不满意的，满意的有108户，占总数的36%，一般的有93户，占总数的31%，满意的呢有45户，占总数的15%，非常不满意的呢有30户，占总数的10%，那么问多数人的意见是什么呢，当然是不满意，总数是108户，占总数的36%。因此，不满意就是这一组数据的重数。所以重数可以是一个数值，也可以是文字型的一个量。 那么比如说我们对于不同的饮料的品牌的喜好程度的频数分布，我们可以做出来，某群体当中喜欢可口可乐的饮料的人数有15人，占30%，旭日升冰茶是11户，占22%，可口可乐9人占18%，汇源果枝6人占12%，露露9个人占18%，那么重数是多少呢，就是可口可乐，因为它占的比重是最大的30%，所以可口可乐就是这一组的重数，这个重数是分类数据。我们在Excel当中，我们有相应的函数MODE可以用来算重数。那么还有一类表示集中趋势的指标，叫做中位数，中位数首先先排序，排到中间的那个位置的数就是中位数，我们小的时候，排座位首先老师让我们从小到大个排开，然后呢，中间个子的那个人的身高就是中位数。中位数的优点，也是不受极端值的影响，最大最小值对于它没有什么影响。 那么它的一个比较好的优点，就是说各变量值到中位数的绝对值的和是最小的，就是说所有数到中位数的和是最小值，那么我们所说的中庸之道，实际上就是中位数的一个应用。那么讲到中位数之后，我们看一下还有哪些数据可以代表相应的集中趋势。刚才所说的中位数和重数，实际上都是从位置的角度来考察集中趋势的。那么比如说我刚才说的中位数的一个案例，有10个家庭的人员月收入，比如说有600，按照排序有600、660、750、780、850、960、1080、1250、1500、1630、2000，那么这数的中位数是多少，中位数应该是，它一共有10个数，它的中位数的位置，应该是2分之N+1，就是2分之10+1就是5.5，它的对应的位次又是第5位数和第6位数的平均值，就是960加860除以2是1020。那么如果这个家庭有9个家庭，1到9，第1个家庭是它的最初号是750，第2个是780，第3个是850，第4个家庭是960，第5个是1080，第6个家庭是1250，第7个家庭是1500，第8个家庭是1630，第9个家庭是2000，这是首先我们找到中位数的位置，那么它应该是2分之N+1，就是2分之9+1，第5位，就是第5个家庭所对应的数，就是1080，就是它的中位数。 那么对于分组数据，比如说定序数据，那么它怎么计算中位数，首先比如说我们按上一个例子的，对于满意程度的回答，非常不满意它是24户，不满意108户，一般意见93户，满意的是45户，非常满意是30户，问它的中位数是多少。那么总数是300户，所以中间位置大概应该是在2分之300加1，就是150.5，我们看出在不满意的时候，它累积频数是132，到了一般的时候是225，因此第150位的位数，应该在一般这个组当中，因为一般就是它的

那么平均数当然有一个比较好的优点，它的各变量值的均值的离差的和是零，各变量值与均值的离差的平方和是最小，所以它的数学性还是比较好的。那么算术平均数，我们又分为简单算术平均数和加权算术平均数，简单算术平均数就是我们最常用的把所有的数加起来，除以它的总数，那么在Excel当中，可以把它算出来，我们还有叫做切尾均值，就是说我们去掉一个最高分、去掉一个最低分，在我们的一些体育比赛或者是歌唱比赛过程当中，10个评委，那么这种做法就是为了避免相应的评委与选手之间，可能有相应的关系，比如说他和他的关系比较近，认识他或者同学或者是他的学生或者他的亲戚，可能给他打高分，那么和他如果有结仇，那么可能给他打低分。所以我们去掉一个最高分、去掉一个最低分，留下中间的，我们取平均分。当然有一些人会说了，那我这个都认识怎么办，或者都对他不满怎么办，那么我们说这个切尾均值只能在一定程度上，防止主观性的发生，但不能绝对的避免。 好，我们看这样一个例子，比如甲乙两组有10个同学，他们的成绩分布，甲族是0分、20分、100分，0分的1个，20分的1个同学，100分的8个同学。乙组的同学的成绩也是0分、20分和10分，其中0分的8个，20分的1个，100分的1个，问这两组的均值是一样的吗，很显然，它是不一样的，甲族的平均分是82分，乙组是12分，那么为什么有这么大的差异，大家很容易想到，因为甲族100分的人是比较多的，有8个同学，而乙组的0分的人有8个同学，它的低分的人比较多，换句话说，每一组当中它的权数对于均值的影响非常大。因此我们在考察数据的时候，我们需要考虑它的加权平均数。还比如这样一个例子，比如说我们一个建筑工地，由于赶工期需要很多起重设备，起重机，其中能起重40吨的1台、25吨的2台、10吨的有3台、5吨的有4台，总共有10台，问这个工地的平均起重重量是多大。那么有一些同学就会想到了，我们可以把总的吨数算出来，除以总的台数，就是它的平均起重吨数，就是用40乘1加25乘2，加10乘3，加5乘4，再除以总数10就是14吨，平均起重吨数是14吨每台。那么这个每个起重机的吨数，实际上就是它的权数，那么它就能够起到一个加权的作用，把它的平均数能够算出来。它的权数不一样，最终的结果也就不一样。 那么加权，我们可以按照绝对加权，就是按照绝对频数进行加权，也可以按照相对频数，如果是绝对频数就是用每一组的数值乘以权数，算一个总量再除以总频数，算出加权频数。如果是相对加权，就是或者用频率加权的话，那就是把每一组的频率乘相应的每一组的组中值，然后再求和，就是按照频数、频率加权的一种方式。那么这刚才讲的是，加权平均数和简单算术平均数总称为算术平均数。那么我们还可以看这样一种情况，比如说我们有的时候去超市买东西，两个超市比较近，东西也差不多，那么我们希望，肯定希望总体来说比较便宜的情况，就是这个超市，那么我们就可以看我们这样一个例子，去两个农贸市场，两个农贸市场的价格，A、B、C三种商品，A的商品是每公斤1毛1，B商品是每公斤1毛2，C商品每公斤是1毛3，同时甲乙两个市场的销售额都知道，那么问这两个市场的平均价格谁高谁低。我们这种算的时候，我们就看出，首先我们应该把所有商品的销售额加起来，然后再除以所有的销售量，所有销售量实际上是用各自的销售额除以各自的销售价格得出来的。这样得出来两个价格，甲市场是平均价格是1毛2，乙市场是1毛1点8，那么这两种市场的平均价格差不多，这种计算价格的方式，我们把它叫做调和平均数，就是用总的销售额除以总的销售量，在这一道题当中。那么实际上它的通用形式，实际上是把所有的M加起来，再用M除上X求和，得到这样一个，实际上就是标志值倒数的平均数的倒数，当然这种情况下，有的时候用的情况也不一定多。在Excel当中有专门算调和平均数的函数Harm，那么比如说我们算两个企业的，比如我都要进它的原材料或者零件，要算对比它的单位成本，那么我们就可以用总成本除上它的各自的它的来算出它的平均单位成本。 那么我们还举一个比较有意思的实例，比如说虾，我们知道虾或者是螃蟹，它的海鲜它的实例性比较强，早晨刚出船的时候，这个虾是每公斤卖10元，到了午市的时候，这个虾不太新鲜了，每公斤卖5元，到了晚市的时候，如果再不卖掉的话它就坏了，一分不值，所以降价卖一公斤2元。那么有中情况，一个情况下这个人，他是早中晚各买一公斤商品，那么这个时候它的平均价格是多少。另外一种情况下，就是说早中晚各买1元的商品，它的平均价格又是多少。那么这时候我们就涉及到，这两种情况下，我们用哪种平均数，大家可以仔细想一想，第一种商品，我早中晚各买1公斤的商品，我就可以用算术平均数，当然这个时候简单算术平均数和加权算术平均数结果是一样的，因为它的权数都是一样，这时候简单算术平均数