我们前面学的重数、中位数和均值之间，它实际上是有关系的，对于对数分布来说，这三者实际上合而为一，而对于偏态分布，如果是左偏分布，它的均值在左边，重数在右边，对于右偏分布，它的重数在左边，均值在右边。那么为什么好像看出来峰值在左边的，为什么我们这个叫右偏分布，实际上左右偏主要看它的重心，重心是什么意思，比如说一个物体有重心和几何中心，重心往哪偏，它就要往哪偏，那么在这个图形当中，均值实际上就是这一组数据的重心，所以均值在哪它就往哪偏，比如说左偏分布，均值在左就是左偏分布，这时候均值小于中位数，小于重数，那么均值在右边，重数小于中位数，小于均值，这时候就是右偏分布。那么我们学到的数据的集中趋势，实际上我们刚刚讲了有重数、中位数、四分为位数，有算术平均数，有调和平均数、几何平均数、中位数等等。那么这些用到哪些场合，我们知道重数一般用在定类数据，也就是定类数据一般用重数。而定义数据我们可以采用中位数、四分位数和重数，定距数据我们可以采用均值、重数、中位数和四分位数。定比数据我们所有的数据都能用。这里头涉及到四类数据，第一类数据指这一类数据只能分类不能排序，第二类数据既能分类又能排序，但是不能计算数值，定距数据和定比数据都是数值型数据，其中定距数据它没有绝对零点，它只能加减，不能乘除。而定比数据有决定零点，它能够加减乘除，也就是说有绝对零点的数据，就是说你像这个温度，零摄氏度表明它不是没有温度，而是有一定的含义，冰水混合物的温度。像海拔是零米，不标是没有海拔，而是表达它的海平面的高度。因此没有绝对临度就是意味着，绝对零点就意味着，它这个零就是没有意义，有绝对零点就是说它有意义。所以我们知道这个温度和海拔这样的数值，属于定距数据，它没有绝对零点。而像长度、重量它有绝对零点，这样的话我们就能够算出来，这些数据的分布形态。 在Excel当中也有众多的函数，比如说重数在Excel当中用Multiplicity可以表述它，中位数median，切为中值、四分位数、简单平均数、加权、调和平均数和几何平均数，我们都用Excel可以方便的可以算出来。最后我们把这个测度集中趋势的指标，我们把它总结一下，平均指标我们分为位置平均数和数值平均数，位数平均数我们分为重数和中位数，数值平均数，我们分为算术平均数，调和平均数和几何平均数，那么这就是我们研究集中趋势的所有的指标，它能够把整个的数据的集中趋势进行完整的进行概括，今天我们对于这个集中趋势的指标的讲解，到此结束。 刚才我们学习了数据的集中趋势，那么数据除了有集中趋势之外，还有离散趋势，描述离散趋势的指标，我们把它叫变异指标，它的作用主要反映变量分布的离散趋势，第二个呢，可以反映均值的代表性的大小。第三，可以反映均值的稳定性、均匀性、事件的风险性。你比如说，一个车辆在行驶过程当中，平均速度就是它的均值，但是这个速度忽快忽慢，它的波动，我们就是叫它离散指标，那么如果在一个比较颠簸的路上行使，速度忽快忽慢，这个车是容易出事故的。所以我们希望，这个车应该是均匀稳速的行驶是比较安全的。那么我们的经济发展也是如此，经济增速如果能够持续的一个比较高的稳定的速度发展，那么这个速度就是比较好的一个速度，就是我们所说的又好又快发展。那么如果一会大涨大落，某一年一下增长20%，另外一年突然负的百分之多少，这样的话就是经济的损害非常大，那么在我们改革开放之前，这个情况时有发生，在改革开放之后，它的稳定性是逐渐增强了。 所以描述一个数据的变异指标是非常重要的，那么当数据的离散程度越大、数据的平均的代表性也就越小，就是说在一个群体当中，我们要选一个代表来代表大家的意见，如果大家争论不休、差异很大，那么这个代表他很难代表所有人的意见，如果大家的意见比较集中，那么这个意见差异不大，那么这个代表的代表性也就比较强。衡量数据离散趋势的指标，有极差、四分位差、标准差、平均差、离散系数等。那么我们首先来看一下极差，极差是什么意思呢，极差也叫全距，就是用一个数据的最大值减去最小值，如果对于一个分组数据来说，我们可以用这一组的最高的上限，减去最低组的下限来表示。那么极差，我们说它的优点，就是比较简单、容易理解、容易计算。那么缺点是什么呢，就是容易受到极端值的影响，我们可以举以前的例子，比如说一个篮球队来了一个姚明，那么它身高极差就会立刻的增大，来了潘长江极差也会增大，就是受极端值的影响。同时，这个极差没有考虑数据的分布状态，比如说一组数据有7、8、9、10，4个数，每组数如果两个，那就均匀分布，如果7是1个、8是1个、9是2个、10是4个，那它就是非均匀分布，偏态分布。那么这样的情况下，这两组数据的极差都是10-7=3，但是第二种情况它的分布发生了偏斜，它没有通过极差能反映出来。 那么为了改善极端值对它

当然标准差，它分为总体标准差和样本标准差，如果这个数据来自于总体的，我们把它叫做总体标准差，如果来自于样本的，我们把它叫做样本标准差。那么这两者有什么区别呢，总体的标准差，它的分母是除以N，而样本标准差它的分母是除以N-1，那么这主要取决于它的自由度的原因，所谓自由度就是指在这组数据当中，能有自由取值的个数，再求样本标准差的过程当中，由于要算一个样本的均值，损失了一个自由度，所以它的分母就变成了N-1，当然自由度的解释有很多的解释方法，这只是其中的一种。那么我们在比较两组数据的时候，用标准差实际上是比较直观、比较方便。 现在我来举这样的一个例子，比如说有两个车间工人的工资情况，甲车间它是一个体力劳动者居多的车间，它的平均工资是500元，这个车间的标准差是25元。乙车间是以技术工人为主，他的平均工资是1500元，标准差是28元，那么问这两个车间平均工资代表性大的是哪一个，那么有些人根据我们前面所学的知识，可能直接就得出了由于乙车间的标准差是28元，而甲车间是25元，甲车间的标准差小，所以甲车间的平均数的代表性强。那么我们再仔细想一想，甲车间的平均数是500元，乙车间是1500，甲车间的规模是乙车间的3倍，如果我们把甲车间的规模和乙车间同等的话，那么甲车间的标准差就由25元变成75元，反而比乙车间大。看样子直接用标准差来比较的时候，是有条件的。如果当这两组数据的规模不一样的时候，用标准差来直接比较是有问题的，就比如一个成人和一个婴儿，都增长了1公斤，这个婴儿比如说是10公斤的体重，这个承认是100公斤的体重，那么都增长1公斤，承认增长的幅度就是1%，而婴儿增长的幅度是10%，所以从绝对数来说这两者是一样的，但是相对数来说，两者有巨大的差异。那么这个绝对数就类似于我们的标准差，这个相对数就要用我们新的统计量来表示，就是标准差系数，或者叫做离散系数，就是用标准差除以均值得到一个相对数。 因此在两个总体差异比较大的时候，用标准差就不是很合适，而应该改用标准差系数或者是离散系数。它不仅能够消除不同规模对于这个数据水平的离散程度的影响，同时还能够消除量纲对它的影响。因此我们说标准差系数或者离散系数，是最为科学的表示离散程度的一个指标。那么在两个总体规模不一样的情况，离散系数越小均值的代表性越强就越稳定。那么我们求离散指标，极差也好、平均差也好、方差也好、标准差也好，标准差系数也好，Excel都有很详细的函数可以计算出来。那么我们现在比较一下这几类变异系数的差异，极差我们说它是最大值减最小值，计算方便，但是并不能反映数据的全体状况，而平均差改善了这一点，但是它的缺点是什么，就是有绝对值，运算不方便，因此人们用方差对它进行改善，用平方的方式，那么但是它量纲不统一，然后人们就对它进行开根号，得到了标准差，这时候既把这个数据的全部状况进行反映出来，同时它的含义是比较直观的。但它有一个缺点，就是不同规模它的比较是不一样的，因此人们用标准差再除以均值，得到了标准差系数，这就是我们作说的离散指标的基本构成。 当然之前我们所说的都是针对数值型数据来说的，如果这个数据是分类型数据，我们还有另外类指标，叫做异重比率，就是用非重数组的频数占总频数的比重来表示，那么这个比重如果越小的话，就表示非重数的比重就越小，那么你的重数的比重就越大，那么它的代表性越强，这是在分类数据来研究的。那么我们如果把异重比率考虑进来，那么我们结合数据类型，那么不同的数据类型，它所用的离散指标就是不一样的，对于分类型数据，我们只能采用一种比例来表示它，对于顺序时间数据，我们用四分位差，异重比例来表示它，对于数值型数据，我们可以用极差、平均差、方差、标准差、离散系数等来表示它。所以不同的场合，我们采用不同的数据指标来表示它的离散程度。

那么前两部分我们主要讲了数据的集中趋势和离散趋势，实际上数据还有另外一个特征，就是它的分母形态，它是对称的、是左偏还是右偏，是陡峭还是平缓，那么就要考虑，它的分布形状。那么如果我们考虑大的是左偏还是右偏的话，我们可以用偏态系数来衡量它，那么能不能利用均值和重数之间的关系来衡量数据的偏斜分布，我们回忆以前学的知识，对于对称分布来说，重数和均值、中位数三者是合而为一的。而对于左偏分布和右偏分布，就看它的均值在哪一边，均值在左边就是左偏分布，均值在右边就是右偏分布，因此我们构造一个指标，就可以用均值减去重数，均值减重数如果是正数的话，就表明均值大于重数，它就在右边，就是右偏分布。如果均值减重数是小于零的，是负数，就表明均值在重数的左边，那么它就是左偏分布，那么用均值减去重数这个指标，我们就能大致分别区分出来它是左偏还是右偏。但是有一个问题，这是一个绝对数，如果不同规模来进行比较的话，不同主体来比较的话，由于规模的不同，这个值就是不一样的。因此我们为了比较不同规模的分布的这个左偏还是右偏，我们得用一个相对数，就是用均值减去重数作为离差，再除以标准差，因为标准差也是表示离差的一个指标，这样表现一个相对数，就是偏度系数。这个偏度系数如果大于零我们就是右偏分布，如果小于零就是左偏分布，当然相应的Excel也能有相应的解决方法。 那么我们可以看出，这个偏度系数用均值减重数再除以标准差这个概念，叫做偏度系数，比较好的解决了左偏和右偏的问题，而且能度量它的大小。我们发现，这一个公式里头有没有缺点，根据我们学的知识，一个数组它的重数可以有一个，也可以有多个甚至没有，那么如果只有一个的话，这个公式还是比较好的。关键是如果这个数据没有重数或者是重数有多个，到底采用哪个，或者是根本就采用不到，所以这个数据、种格公式它是有局限性的。那么我们看样子只能利用原始数据来度量它的偏斜程度，那么统计学家利用了原点距和中心距的概念，这个距的概念实际上是来自于物理学当中的力距，那么统计学的原点距是，比如说一阶原点距就是X求和除以N就是均值，那么二阶原点就是X平方求和除以N，三阶原点距X3次方求和除以N，依此类推。 那么中心距实际上就是X、R减去均值，就是这个样本数据减均值的离差求和除以N。二阶中心距就是X、R减X均值的平方求和除以N，那么二阶中心距刚好就是我们学的方差。三阶中心距用X、R减X均值的3次方求和除以，依此类推。因为统计学经过研究发现，我如果用三阶距我就能解决偏态系数的问题，用三阶中心距除以标准差的3次方度量出偏态系数，当然这个证明是非常复杂的，我们在此加以省略。那么我们度量数据的扁平和陡峭程度，我们用的是峰度系数，峰度系数我们就可以用四阶中心距和标准差的4次方来度量。那么这个值得出来，如果是正态分布的话，峰态系数是3，如果小于3是扁平分布，如果大于3是尖峰分布。那么为了和我们的偏度系数相统一，我们直接在原始的基础上，就是中心距的4次方除以标准差的4次方，我们如果减去3，就构成另外一个峰态系数PURT这个峰态系数，这样的话如果K如果是零的话，那么就是适中的，如果小于零就是扁平分布，比较矮，如果要是大于零比较尖，这个就相当于人比较瘦这种感觉。 以上我们讲的数据的集中趋势、离散趋势和分布形态这些指标，用Excel单个函数是可以直接算的，另外还有一种比较快捷的算法，我们可以利用Excel当中的工具菜单下的数据分析菜单下的描述统计下面的汇总统计这个功能，如果我们使用这个功能的话，那我们以前学过的集中趋势，像均值、几何平均数、调和平均数等等这些指标，包括离散指标，像极差、像标准差、像平均差都可以直接计算出来，包括偏态系数和峰态系数。所以我们在学习过程当中，要时刻保持着利用软件来计算的这种习惯，这样的话就能极大的提高我们的学习的效果和研究的水平。那么这一讲我们主要讲的就是数据的集中趋势、离散趋势和分布形态，到此为止。