在文献里面我们已经可以看到有几个简单而且实用的模糊数，最简单的除了那个实数，就是所谓的区间数或称为一个矩形模糊数。也就是说直观的它的隶属函数一开，一个闭区间的参数平的等于一其他的都是零，这个画出来是一个矩形矩形模糊数。那么它的表达式，异数函数的表达式很简单，在这个区间上等于1，其他都等于0。 三角模糊数，这是另外一个概念，就是左边是个直线的，右边是个直线的，其他都是零，它的表达式就是这样。那么任何三角模糊数可以用三个实数来表征，这个底部左边在什么地方，最高点在什么地方，右边底部在什么地方，所以它是等价于一个三维的向量，我们可以用这样一个集合来表示。左端点、最高点、右端点，那么它的全体我们用这个N坐标是T来表示。 再复杂一点就是所谓梯形模糊数，它的隶属函数是个梯形的。直线的、平的、直线的，其他是零。那么我们就用这个N和P来表示，那么它可以用一个四维的向量来表示。左端点，最高点的左端、最高点的右端，右端点，所以四个向量来表示。由于用正凯分度密度不方便，可是人们往往喜欢用其所谓的中型的，这个曲线的表示这个模糊概念。那怎么办呢？它的支点是有限的有界的，尽管还是那个东西。那么它的隶属函数具有这样的，带有两个参数。一个是中心位置，一个就是底下的宽度。它应该图形大概是这样，矩形模糊数、三角模糊数、梯形模糊数跟这个余弦模糊数。那么头三个，这个在文献里面见过很多很多，人们往往利用，因为比较好计算。这个Closeness这个东西比较难计算。 那么我们就分别用这个记号来表示这些特殊类型的模糊数，还有人们还用所谓的模糊数，那么就是说在零的左边那个隶属函数都是零，就是在右边模糊数。当然跨的这个原点也不是在一边，全部在原点的右边，最多，叫多端点最多是到原点。 好，有了这些一个概念以后，咱们来讨论这个秩的问题。怎么来建立一个秩对于给定的一个模糊数的集合。注意这个前提，因为秩实际上很简单，就在这个模糊数集合上你搞一个映照，到什么上面的映照呢？到已经给了秩或者序，全序的一个集合上的映照。最常见的就是我们取了实数作为参考系统，不搞映照，你给我一个模糊数的集合，对于每一个模糊数你给我的集合里边，我定义一个像，映像在这个实数之中。这是指定的实数，这样就是一个函数的概念。定义在模糊数集合上的一个实质函数，这就是一个秩。 怎么来呢？就是根据它的像的大小，因为它们的像的I跟B的两点它们的像都是实数，实数可以比大小，它是前序的。所以根据它们像的大小我们来定义这个秩，我们用这个记号来表示。这就是一定满足传递跟全可比。你搞一个映照，但是自己跟自己的像是一样的，所以自然的。然后传递，因为这个关系在实数图上它是传递，所以这个关系应该也是传递的。全可比，那像既然都是实数，那当然一定可以比大小，所以这没有问题。所以定义秩是非常容易、非常简单，我就搞一个映照。正因为这个原因，所以现在文献里面有人说已经存在的献里面已经有三十几种不同的秩的地方。应该这么说太容易了定义秩，也根据你的需要，根据实际工作需要选一个合适的。那当然也有那种种种不同秩，那么就要提出的，但是哪一种方法好，在实际应用里面哪一种方法好，所以我们就需要提出一些衡量它好坏的最起码的准则。一些坏的，摔摔跤，一摔下去跟你实际问题需要再来调解，这个我们要建立一个准则，评价一个秩的好坏的准则。 那么现在我们先来看一些关于秩的例子，这是一个非常古老的，所谓古老也就是几十年前，那么就提出来的。什么内容呢？就是考虑最高点，你比如说某个数做得有一个隶属函数，隶属函数有一段或者起码有一点它的隶属数是等于1，这个就是称为和或者是，这个是一个模糊数的核心部，就是它的隶属度最高的高达一二的地方。就像那个因为它是闭区间，有左端点、右端点，我就取其中作为一个指标，作为一个指标，就根据这个指标，这实际是一个映照，我可以找出一个实数来，这就是它的和的中间那一点，这是一个实数。这根据你实数的大小来排秩，刚才咱们说的秩的定义。那么这是一种非常古老的方法来定的一个秩。 另一种就是不取最高点，我就考虑它的秩点，底部我取其中作为指标，这样也可以定义这个秩，这是秩不是序，因为什么？你不同的模糊数它可以有同样的秩的，是不是？你比如说三角形模糊数可以张的宽一点可以窄一点，可是它中间是一样的，所以它是一秩，这个ranking。 那么在文献里面我们还可以看到有一种秩定义的方法，什么呢？它这个映照就是说给我一个模糊数我给你一个数d，这个d是什么呢？就是你这个隶属函数的几何图形它有一个重心，你三角形有一个重心，重心是到原点的距离或者是距原点到你这个图形的终点的距离，当然这种比法它只能对模糊数来定义秩，因为到负的，你比如说关于这个对称的两个图形，那这个到原点中心都是一样的，这个就不太方便了，这个是负的，这个

下面我们就提出了五条这个政策来衡量秩的好坏，那么我逐条来解释。 头一条，就是你定义的秩最好跟咱们实数的前序一致。因为实数是模糊数的特例，而秩数的自然序是最常用的、最直观的序，前序。那么实数是模糊数的特例，你现在搞了一个模糊数的ranking的秩，理所当然应该跟实数的前序不矛盾。因为实数是模糊数的特例，那么矛盾的话这个就糟了，本来说你三小于五实数，你现在搞了模糊数把这个三和五都看成模糊数，结果三比五大了，那不太好，是吧？所以头一条就是你做一种推广，从实数的前序推广到模糊数的秩，你这个秩就应该跟实数的自然序一致这一个基本的要求。 第二个要求，就是几何上的直观数。直观地说就是说那两个模糊数，隶属函数有0的部分有非0的部分，当然咱们中间有非0的部分，0的部分没有了，是吧？就是说它的非0部分，因为模糊数的隶属函数非0部分在另外一个模糊数的隶属函数非0部分都在另外一个左边，在左边的应该小，对不对？你全部在它的左边，你当然应该小，对不对？它的就不好说，但是一个东西分开的，一个在这边，一个在这边，这在左边，这在右边，那当然这边应该比这个小，就像几何上的直观性它不能违背这样定义秩的时候，这是第二条。 第三条，连续性。关于什么连续呢？如果我们有一个模糊数的序列它收敛，我们要求一致收敛。模糊数的序列一直收敛，这个定义就是根据它的α卡塔来。α卡塔必须连接这两点，这两点分别它作为秩都要收敛，而且关于α是一致就是收敛收的不一样。直观地说就是说这个隶属函数，它的隶属函数越来越靠近，越来越靠近。 那么关于这个模糊数序列一致收敛的连续性，直观地说就像，如果你两模糊数，它的隶属函数从几何上讲这么靠近的话，那么所定义的秩，它们的秩差别也比较大，比较小。越靠近，这个秩的差别就越小，这叫连续性。那么这是定义秩，所以定义秩应该满足这个。 第四条就是关于加法的遗传性。保留这个序，通过加法以后函数保留。也就是说你现在有两个模糊数我要加起来，另外还有模糊数也要加起来。模糊数和函数模糊数，可这两个模糊数分别的都比这两个大，那它的和应该加上。这个很直观吧？1+2一定要小于3+4，因为1小于3，2小于4，加法遗传。这是一个第四条。 第五条针对的就是关于数乘的遗传性。你这个模糊数比这个模糊数小，我两个都乘上2加倍还保持这个大小，如果乘上负2话就把这个大小，这是关于数乘的遗传性。那么如果你这个ranking这个秩定义在非负上，那么当然我就要考虑这个非负数乘就够了。那么在一般的模糊数前，一般的模糊数集合可以一正一负的，那么我们当然考虑乘上去这个数是正是负，因为这边是实数也是。1小于2，可是负1并不小于负2，先找一个头，所以我想了想有这么五条基本的要求来衡量一个秩的好坏。 那么拿这么五条标准衡量上面三个例子，头两个比较古老的定义方法，遗憾的是用这个重心来定义的，哪怕距离也好或者是面积也好，用重心来定义的都不好。它们违背了几何的直观性这种连续性，因此那个是不可取的。当然这个话在文献里面还没有出现，因为我还没有把文章发表，就是对这种有好几篇文章讨论这个，用重心，这个在顶级的国际杂志上发表用重心来进行，虽然他们违背了这两条准则的。 那么我们下面就可以看到这个反例。这是一个反例就是我们考虑这两个模糊数，一个是矩形模糊数，它的隶属函数很简单，一个是三角形的，它的图就是这个样子。三角模糊数，这是矩形模糊数，你看看重心在这儿，三角形重心比较低在三分之一高处的地方，而矩形模糊数重心在哪？二分之一高处的地方。尽管你看这个矩形模糊数的隶属函数非0部分全部在三角模糊数的隶属函数的非0部分的左边，可是这个距离，你看红的就比绿的大也长一点，对吧？所以它用这个重心来定义的是违背了几何的直观性。这是一个例子。 另外下面这个例子就是它违背了连续性。其实这也很直观，比如说我们考虑三角模糊数，这是个三角模糊数的一个序列的例子。一开始张的比较开，然后收紧点、收紧点、收紧点，那么它的极限是什么呢？这是一个实数，是吧？矩形模糊数的特点就是一个实数。可是你想这个三角形它重心是什么？总在三的最高度收紧一点还在三还是在最高度。可是啪突然一下这边，违背了它的连续性，所以凡是涉及到重心的，它的重心当然考虑X轴跟Y轴这两个二维的重心的选不好，它违背了这两条。所以这是不可取的，涉及到好几篇，包括发布杂志上给我们讲的。我告诉我的临毕业的研究生，我说你要感兴趣你可以写一篇文章就是讨论这个东西。这是关于ranking的问题，秩的问题，那么我就说这一些。那么根据这个定义我们可以引进好多好多种不同的秩，好多不同的秩。那么就要根据实际问题的需要，我们要偏好选取适当的秩来排，用到这个模糊环境去。 那么下边我来跟大家汇报就是全序，那么自从模糊数的概念提出来以后到

好，第三种模糊数，因为每一个三角形模糊数都可以用这一个三维向量，带有三个圆的向量来表征。那实际上我们就要处理这三个，三个元素就可以了。那么现在A比两个模糊数分别对应着一个向量这个向，怎么来定义全序呢？首先我比最高点，如果最高点不等式成立，那么我马上就说这个A小于B。如果这个比不出来，它们相等。那么我得考虑这个什么？左端点和右端点的和除以2就是终点，这是两倍的终点，我就懒得除2了，选直径。左端点跟右端点加起来比例，如果这两个不一样，那也好说了，哪个大哪个小。如果它们还一样怎么办？这个就是差，差就是说这个闭区间，这个和的，不是，这个直接的这个闭区间它的长度，哪个长哪个短？如果这三个都一样，当然这两个三角模糊数就统一了，是不是？就满足了。所以这样定义出来就是定全序。这跟咱们那个辞典的编纂方法是一致的，就是你英文辞典ABCD这么排列，每一个英文单词在辞典里面都有适当的位置，不会混的。怎么办？就先看头一个字母，按ABCD的次序。就是把26个英文字母ABCD这种作为参考系统，我们先取一个英文单词头一个字母来排，如果头一个字母一样我们就看第二个字母，第二个字母还是一样就看第三个字母，这样就可以把所有的英文单词排到这个辞典里面去。那么现在就是有这么一个想法，头一个字母我就取最高点，第二个字母我就取d的终点，第三个字母就是这两个长度。所以这样排出来是一个全序，在三角形模糊数前提下排出来一个全序。这种方法不是唯一的。 比如说下边我就这样看顶点，然后看左端点，还不是终点。如果左端点一样我再看右端点，这是另外一种排全序的办法。当然也可以把左右倒过来，先右后左也可以。所以从理论上讲我们可以有无穷多种不同的排全序的方法利用三角形模糊数，再第二种我取终点，终点就是平均，那我可以加上平均吗？叫做特组合，就是用一个W全对不对？另外一个1-W，这个W在零一之间吗？这是特组合。W可以零一里边任意取，不同的取法你就得到不同的序。所以我们可以有无穷多种不同的排序，排的都是全序。 那么用这种观点看，这个排序过程里面我们是用到了参考系统。从理论上讲在一个无穷结合，不可数的无穷结合上排序，通常我们只能是依赖于参考系统。因为我们要去印一堆东西给你来，你说你要排一个次序，我可以把头一个，拿起第二个，再取第三个排出来序来了。但是这个过程就是你取直线上，它最多只能排颗粒多个。对不对？一二三四排下去，第一个、第二个、第三个，最多只能取颗粒多个就取到极限了。要是你用不颗粒多个，你像实数的前提是不颗粒，是吧？整数的前提是颗粒，有理数的前提是颗粒，无理数的前提就是不可列吗？在不可列结合上你要排序的话就不能用穷举来解决的。所以必须要依赖于已经定义好了序的结合作为参考系统，这个参考系统也不止一个。你可能三角模糊数，我们看到最近的参考系统是什么？实数轴，带有它的自然序。你比如说头一个里边，这个顶点，顶点是什么？根据实数，它们都是实数大小，对不对？这就是拿实数轴的，带有自然序实数轴作为一个参考系统。 可是第二种排序方式也是，它们区别在什么地方？第二个参考系统不加了。第二个参考系统试一试，你三角模糊数吗？我就这三个点就可以表证你这个三角模糊数，认为统一，我简单说这个表证它。它本身也是一个参考系统，先顶点，然后再左边再右边，这就是一个全序，定义在三个点结合上的一个全序。你也可以先顶点，中间是右边，然后是第三位数左边。三个点的函数这个集合没变，和这三个数的作为参考系统它上面全序画的。所以这个在三角形模糊数的排序问题上，它是用了两个参考系统。一个是在一个自然序的实数轴，另外一个这个三点上的你所定义的哪个先考虑、哪个后考虑这个序，这两个参考系统。所以一般说来在一个不可数的无穷集合上来定序的话，全序的话，我们是要参考系统。那么选择不同参考系统，我们就可以得到不同的全序。所以总的来说，在无穷集合上来定义全序是有无穷多种不同的方法。这是三角模糊数前提上排序的问题。