那么刚才我说过了对于区间数或者是矩形模数或者梯形模数类似，对梯形模数我们需要，一个参考系统还有四个点，另外当然还有一个首要的就是实数带一个自然序。 那么下面我们考虑在模糊数的前提上头，前提这么大的点上，这其实是一个挑战性的问题。那么在前两年我带研究生讨论班，这方面的文章就发现一个问题，发现问题呢，我最终把这个问题解决了。解决了我们投了发现杂志，现在还在审稿阶段。那么要定义前序比较难，怎么办？为什么难？因为模糊数的前序太难，你不能用有限这个参数来表征它，而三角形模式我们用三个参数，梯形模数我们用四个参数，矩形模数有两个，它都是有限的。最多如果我们用颗粒多个参数来表征一个模数最好的我们把它法推广到特别的情况没有问题，但是到现在为止文献里面没有出现一种办法就是可以用颗粒度个参数来表征一种模数，没有这种，所以首先攻克这个难题。我们试图用颗粒度参数来表征这个模糊数，不同的模糊数它是用不同的颗粒度参数来描写它，那么这是要建立新的模糊数的分解定理。 在这以前我们来引进一个概念叫做稠密。学过十分系的人有这个概念，比如说有理数的前提，尽管有理数比无理数少得多得多，但是它在任何区间上都是稠密的，稠密的概念是什么呢？就是你任意画一个很小很小，非常小的线，你都可以找到至少一个点，在那个作为稠密点，这叫稠密，也很直观。我们知道零一里边有理数多少个？颗粒度个，它稠密到处都有稠密的，当然无理数也是稠密的。 那么现在我来引进稠密序列就是可数的像有理数那样，为了强调咱们考虑模糊数的时候非常注重那个最高点就是和，所以我们一定要把这个一这个α、卡塔α的一要放在首位，这样演变就叫上密序列，上密集。 那么我们也有一些例子，譬如说这个二进制数，零一里边的二进制数带有有限位小数，二进制小数的这个二进制数，二分之一、四分之一、四分之三、八分之一、八分之三这就是二进制数，带有有限位。那二进制里面咱们写成0.1，甚至是0.01，四分之三是0.11，八分之一就是0.001，二进数。带有有限位小数的二进制数前提，这是一个序点可以排出来的，而且它是稠密的。也就知道说零一区间中间切一刀，然后再分别再切，从起终点切，这么切切切越来越细越来越细，最后它稠密的，这是第一个。

第二个就是有理数，有理数，我用二分之一，三分之一、三分之二、四分之一、四分之三、五分之一、五分之二、五分之三、五分之四等等那样下去，有理数也是一个序列的颗粒度个，它也稠密。这样的我们称为上密序列，我们把一放在头一个，这个是一个投影。关于这方面的讨论就是上密序列跟那个稠密具体有什么关系，以及跟所谓的下密从下稠密什么关系，那么在文章里面都有，我今天在这儿就不细讲了。 那么传统的带模糊数的那些个有分解定理，最早是打着提出的模糊集的概念，后来出了一本书，他里面有这个分解定理一。任何模糊集它可以表示成这样特殊类型模糊集的并，这一特殊类型模糊集是什么意思呢？这一块就是α卡塔，它是个区间。然后对于任何模糊集的这就是一个普通集合，对模糊数是区间，那么一般说来因为考虑分解定理的话不一定考虑模糊数了就是，这里的α、卡塔就是那个模糊集。然后这是一个非模糊集合，然后它们的高度就是α了，所以也是一个特殊的像矩形一样的，不过就是零点，最高度不是一，专门这些特殊的模糊数。然后大致这么垒起来是一个并，这可以表示这个基数函数，原来的基数函数。这个就是分解定理原来的。 那么后来这个北师大的老师跟罗宏教授就把它推广了，也不叫推广，就是发展了。因为引起了模糊数分解定理，模糊集合的分解定理二跟三。另外就是我用不了所有的零一区间里的α，我只要有一种能够达到，它的隶属函数就是取得到那些α前提，当然对大多数模糊集合来说这样的α的个数也都不颗粒度个。所以总的来说，这三个分解定理都涉及到不颗粒度个的α，所以要用这样的分解定理达到咱们目标是不可能的。我们希望是颗粒度个来表示，所以我就证明了一个新的分解定理，我们称为分解定理四。就是这些α我只需要找一个上密序列就够了，这个颗粒度个α卡塔我们需要考虑的，这叫分解定理四，这是一个新的工作的关键一步就建立了分解定理四。这里边的α需要说明这个集合S，S一个续点颗粒多个就够了。那么每个α它对模糊数来说它是两点，一个区间，区间左端跟右端。那么颗粒度个乘还是颗粒度个，是吧？所以最后我们可用颗粒度个参数来描写一个模糊数，这就解决了大的问题。我们就可以用辞典编纂法来讨论分解定理，那么这个，我就把这个α看成，这不是个上密序列吗？它是有次序的。那么每一项它有两个点，头一项拿来两个点，第一第二。然后第二α卡塔我拿来，第三第四。第三个α卡塔拿来，第五第六。那么排出一个序列来了颗粒多个，按照这个次序从头一个开始比，跟那个辞典一样了。头一个开始比，头尾一样的我们得考虑第二个，第二个还一样考虑第三个，总得头一个不一样的地方，那么我们都排出来了。如果所有都一样，因为分解定理它就重合了。所以这样排出来的，它是秩反的、反对称的、传递的，它是全可比的，总可以比，对不对？所以这样的就是一个前序的。

那么在这个里边，我们涉及到什么呢？涉及到一些参考系统。哪个是参考系统呢？那么带有自然系的实数轴是个参考系统，对吧？另外你看看就是一说选取的上密序列，上密序列无穷这种想法，哪个在前头哪个在后头在这个序列里头。这是一个参考系统，是个序列它就是前序的，所以这就是一个参考系统。 第三个参考系统是什么呢？α它只有两个端点吗？你先考虑左端点还是右端点呢？你也可以报个头，就是两点结合上的一个前序，对不对？你有两种选择，所以实际是三个参考系统。这三个参考系统定下来了，这个前系列就定下来了。所以按照这个思路有多少种不同的前序排列法，无穷多种，对不对？它是无穷多种。所以我们需要这个缺省。就是说如果没有1的话，咱们公共大家约定一个公共的标准，什么呢？比如说我们都取二进制数这样一个序列，上密序列，连续的二进制数按照它的位数长短，反正有限，这是一个。都取这个实数自然序，然后这两个端点怎么办？咱们做一个约定，先取终点也就是它们合的二分之一，再取它们的长度。作为中间，这是要你能接受的。你要是取左右的话，你说先左后右，人家可能说先右后左，这个对比比较大，是吧？我先取中再cut。你以后要比较也按照这个标准来，标准化，是吧？就是这个，总之就是说它有无穷多种不同的排前序的方法。我们从中间找了一种，这种也为大家所接受公认的一种作为它的，这样就可以把任何模糊数你拿来我都可以比出大小来。 那么这就是一个例子，这是两个模糊数，两个模糊数。头一个是梯形模糊数，第二个在文献里面大家可能没有看到这个样子，因为它用别的方法来排序也好、排秩也好，这个觉得不方便根本就排不了。这就是它的图，头一个梯形模糊数，第二个是这样子的一种中间不连续跳了一跳。你说这两个模糊数哪个大哪个小？根本就比不了，就按照刚才的思路用的其中一种办法这个比出来了。 这个取α卡塔，首先我们考虑一，接下来一样都是三到四这个区间。所以在那个咱们考虑那个序里面头两个是一样的，然后二进制，既然都是一样，然后第三到什么地方，按照那个上密序列0.2那个地方都可以出来了。终点一样，可长度不一样了。所以直到第六位，所以咱们的那个序列里面到第六位才出现差别，一到第五都一样。第六位出现差别了，我们就知道这个绿的表比较小。因为它长度短，所以最后的结果是F小于1，我们排出序来。这是前序的问题。 那么基于这个分解定理四，我们得到了另外一个副产品，这是一个很重要的。几十年来人们没有解决的，这个模糊数一共有多少？不比实数少，多得不得了，是不是？一是没人正确的回答，因为太多了搞不清。那么现在分解定理四我们得出来结论，模糊数跟实数一样多，尽管实数只占模糊数的一小部分。这个并不奇怪，在无穷往往有这个现象。你比如说正整数有多少，说无穷多个，什么无穷多，颗粒度个，一二三四颗粒度个。偶数有多少？ 学生：一样。 王震源：正偶数不是正整数的一部分啊，就是正偶数有多少？二四六八十，也是无穷多个，可能它是前者的一部分，但是我们要说多少？一样多。在数学里面叫做阿里数、阿里数zero阿里数零这是可数的，就是最小的一个无穷多个阿里数零或者是阿里数zero。那么现在这个也是一样，尽管实数是模糊数的一部分，但是模糊数的前提跟实数的前提是一样多，都是阿里数one。这是一个序数的概念，就是第一叫阿里数zero就是比那个再多一点的一个无穷大叫做阿里数one，就是多少个实数，这个叫做实数的基数不同于实数这个是阿里数one。那个模糊数之前，因为我们有不少模糊数，也是那么多，也是那么多。是最近一个结论，在文献里面我们没有查到，大家有兴趣的可以去查，在以前的文献里面有没有这样的事情，那么这个结果呢已经被那个第十五届就是今年在加拿大开的两年一度的世界大会接受了，我的一个学生去会上做报告这个结果就是有这么多模糊数，结论就是阿里数one跟实数讲的。 那么今天我向大家汇报的就是这么些内容，这是参考文献。第一个文章就是我刚才说的。第二个文章就是用那个重心作为这个排秩有问题的，它尽管已经改进了前头人的一些文章的结果，但是因为用了重心还是不好的。第三个文章是我的第三本书，里边总结了我在香港中文大学前后一共12年在那儿做的研究工作，就是考虑C线性积分跟它没有在数据关系里边，去年我在你们这儿就讲过这个东西。那么这个里边有一项专门考虑的模糊情况的，所以关于模糊集合跟模糊数的基本理论都在这个里面。当然这个最新的结果，这个模糊数序的排秩、排序的问题也包括在里面，所以我想如果以后出版社要求我们再版的话。这个第四个就是我刚才说的就是在世界大会上报告的那个结果，在这个里边。 今天就跟大家汇报到这儿，大家看看有什么问题？