说到这个秩与序，对应的英文一个是ranking，一个是ordering。那么这两个词，咱们比如说rank这个词，既可以作为动词用也可以作为名词用，作为动词用就是排秩，秩序的秩，作为名词用就是排出来的那个秩。那么我想一下，就是作为这个排秩，这个整体事件来说，在一个结构上我要排一个秩，那么咱们用动名词。这个标题现在我把它改了，ranking。总之就是有种种的排秩的方法。总体的在模糊数集合上我要排秩，这个是总体的概念，一个秩，这个是用rank。当然咱们也可以，用rank作为动词，我们来rank模糊数。这是一个要说的。那么order就是类似，order本身既是动词又是名词，ordering是动名词，一般在整个模糊结构上排序。 那么这里边，就是有一个是rank一个是order这两个词，那么在学术界有点搞混了，所以在文献里面，有的时候就坐在那里，把它们搞糊涂、搞混了，一会儿rank一会儿order。那么在我这个报告里边，就是把它区分开来，rank是rank，order是order，对应的中文词一个是秩，秩序的秩，一个是秩序的序。 那秩跟序有什么差别呢？就是从数学上讲，我要给它严格的定义。直观怎么来说，你比如说咱们学过线性代数，举证，就是它的秩rank。第二，那么不同的举证它可以有同样的rank，你比如说方正，3以上的方正，它是满值的，这就是rank，那么有好多好多技能的rank。另外一个是军队里面，军舰、少将、中将，这叫什么？rank。少将不值一提，咱们中国好几百，是吧！这个不同的人，他可以同样的rank。序就不一样了，序，两个不同的东西，它是不一样的。序要一样就只能是本身，任何两个东西来比的话，这叫序，并且我要严格地给一个数学定义，rank跟序是不一样的。那么对模糊数来说，就存在一个rank的问题，如果可能的话，我希望order给它序排，序比rank的要求，比秩的要求要强，序可以看成是一种特殊的秩。

那我们为什么要讨论这个问题呢？是吧！再比如说模糊环境里面的决策需要用到，因为我搞数学，咱们只讲数学题材啊，不是什么文本决策之类的东西，或者是图象，咱们都数字化了，数字决策。所以今天我要在这里讲的，就是决策的过程，数字决策过程里边哪些环节要用到这个秩跟序。 所以首先我谈一下关于决策的问题，然后为了定义，严格地来定义这个秩跟序，所以要讨论这个relation关系，这个概念。要学过数学的大概更清楚对吧！什么叫做关系，我在这儿我可以简单回顾一下，然后给出一个模糊数的严格的数学定义。在学术界对模糊数定义也有众多版本，我要讲的是对我们最适用的一种，最使用普遍的一种模糊数的定义，它有时候用起来非常方便的。在这个基础上进而讨论模糊数的一些集合，你可以拿这部模糊数，也可以拿部分模糊数，也可以拿全体模糊数。怎么来定义？根据秩的数学定义咱们来讨论，怎么来用好秩。 那么有种种不同的秩可以定义，那它的好坏怎么样呢，我们当然希望找好的，是吧！所以要提出议题来判断所给的一个秩的好坏的标准及准则。讨论完秩以后我们就讨论序。序，当然我们希望是能排全序，一会儿我要在定义里面讲什么是偏序，什么是全序，就跟实数一样，排得很整齐，时时有序的概念在里面。 那么在模糊数的全体上来定义，这个诠释是一个非常具有挑战性的工作。今天我要跟大家汇报的大概是这么一个秩序，咱们一步步来，首先考虑数字决策。第一环节就是我们要说的收集信息，提取信息，然后建数据库，在数据库里面那里有很多属性。然后进去一条一条，你比如说考虑汽车，那么这个汽车是不是钢的，排量怎么样，价格怎么样，还有品牌，还有BMW等等，它有一些属性，所以要建立这个数据库。那它数据库里面，咱们所记的一些东西进去，不一定是数据的。你比如说汽车的品牌、汽车的颜色，这种东西我们需要数字化、电脑化，然后我们可以用数字方法来处理。 接着下一步，既然有那么多属性，英文叫attribute。那么它们里面记的东西，不管是数字的也好，或者比如颜色、品牌，我们定一个数字化以后，都变成数字了，要把它们聚合起来，聚合起来实际上是一个高维空间和低维空高的统一，从一个又一个空间，或者是一维、二维、三维，这样它们好比较处理。所以这是信息融合的过程，融合完了，又融合成一个数了，要是融合成一个实数很好办，挺搭调，越大越好我就去取大的，越小越好就取小的。这是说order起码rank的问题。 如果说融合环境里面模糊数据聚合，聚合起来我们要求保护模糊性的话，那它就是一个模糊数。所以到这第五个环节里边，这是一个模糊数的rank跟order的关系，排秩跟排序的关系。那么根据咱们是喜欢大的还是喜欢小的，这个就可以做出决策来。所以rank和order的问题，出现在各个环境里边，下面我们就一同再讨论这个环节的问题。 要定这个rank跟order，这个秩跟序，我们从数学角度来讲，就是它们的关系。所以我们来看看，关系在数学里怎么定义的？那么这要考虑一个特殊情况，一般情况是关系从一个地方A到另外一个地方B，现在我们就是B也是A，自身到自身的这个关系。自身的意思是这样讲，这只是乘积空间的一个子集，一个关系我们用R来表示，所以这个R在这个地方并不表示实数的前提，是一个关系。那么A是一个集合，在这个集合到它自身上的一个关系是什么？就是一个乘积空间的一个数据，乘积空间的概念大家都懂吧，你比如说平面是这个X轴和Y轴，这两个轴的乘积空间，那乘积空间里每一个点都可以用一个向量，用两个元素的向量来表示，就是一个X坐标一个Y坐标，叫乘积空间。举个例子来说，比如说一个四口之家，父亲、母亲、儿子、女儿，这是一个集合，之间的关系就是谁是谁的长辈，谁是谁的父母，之间有关系。这关系是什么呢？就是在这个图里边我们可以看出，它是这四四十六的这方阵，这十六块方阵是什么呀？就是它乘积空间，四乘四十六。这一部分，就是说父亲是儿子的长辈，父亲也是女儿的长辈，母亲是儿子的长辈，母亲也是女儿的长辈，所以这一小块，这是整个四四十六这个乘积里边的一个主题，这就叫做他们之间的关系，这是数学里边的一个定义，关系的定义，从集合A到集合a的一个关系。 那么这个关系一般的，我们可以用一些侧重词来描写他们的性质。那么我们经常用的，比如这个自反什么意思呢？在这个集合上，里边每一个点都跟自己有这个关系，每一个点都跟自己有关系，叫自反。对称是什么意思呢？就是A对B有关系，那么B也对A有着关系，这关系就是对称的。第三个是反对称，反对称比不对称要强得多得多，不对称是什么呢？只要有一对A跟B有关系，B跟A没有关系，这叫不对称，是吧？那么它的反面是所有的，也就是说如果A跟B有关系，B跟A有关系了，唯一的可能就是A跟B是一样的，就是自己，除此之外不可能出现什么鬼什么，除了自己就自己以外，这

那么现在利用这些侧重词，我们来定义这个秩跟序。这里有一个表，最基本的一个就是逆序，Quasi ordering逆序，它要求比较简单，要求自反跟传递就可以了，这样子有关系。那ranking是什么呢？它是个逆序，但是要注意一条要求，就是说全可比，就是这个里边任拿出两个来，它不是这个关系就是那个关系，全可比，这样子就像是一个rank，一个秩。偏序它就不要求全可比，但是它要求反对称。如果一个关系既是秩，又是偏序，那我们就叫做全序，它要满足这四条，这就叫全序。最后一个是等价关系，它是满足另外四条，它要求对称，你看上面的都不要求对称，有两个是要求反对称性，传递性大家都要求。 这个等价关系也是用得很普遍的，但是它跟咱们今天讨论的秩跟序没多大关系。等价关系很多，比如说一个班上30个同学，我按年龄分组，同一年龄的分到一组去，按照同一年龄这就是一个等价关系。你比如说整数，全体，那么可以用这个小正数去除，就是除以5，然后看它的余数，余数相同的分到一个类里面，就是有这个关系，叫等价关系。这其实是一个很普遍的概念。 所以这个，在这个里边我们可以看到，什么是秩什么是序，全序，偏序这个比全序稍微多一点，比较好定义，因为它不要求全可比。那么我们在问题里边我们会遇到偏序，但不是全序，你比如说平面上所有的点，我可以很容易定义一个偏序，就是这个东西按X坐标还是Y坐标来，有两个点，如果它的X坐标和Y坐标都大于等于另外一个的X坐标和Y坐标，我就说那个点比那个点大，但是有很多情况就是没法比，你比如说点子，一个坐在了（2，1），第二个点子（1，2），那这两个点哪个大哪个小，它就不好比了，所以它都是偏序。所以这样定义出来的是偏序。 那么模糊数来定义偏序确实很难，从这表我们看到这个秩跟序的严格的数据库。下面我们来看模糊数的自我定义，这是一个最通用的而且最方便的定义，在这数值线上，一个模糊数首先它是一个模糊值点，是数值线的模糊值点，它要求满足，它的隶属函数要满足这两个要求，头一个就是所有的α都是闭区间，α不包括0，因为如果取0的话，α就是整个数值线了，所以不考虑0，所以从开的0到正的1都要求闭区间。第二个要求，就是它的函数是大于0的部分，支撑点要求是有界的，不要伸展到无穷，那要求是有界的。这两条，满足这两条叫做模糊数，那模糊数都拿来了，我们就用N作标志来表示模糊数的前提。当然实数是模糊数的特例。因为这是α的，都是一个单点，单点就是一个特殊的闭区间，所以它就是这样定义模糊数，确确实实是实数的一个推广。

学生：王老师，能给我们在现实生活里找一个模糊数吗？ 王震源：你比如说的离散的情况，叫做模糊整数。人家说这个会场有多少人？你说二十来个，二十来个是什么意思？这是个模糊整数，就是说可能是二十，可能二十一，可能二十二，也可能十九、十八，这就是一个模糊整数的概念。实数也可以，你比如说这是一个很接近0的数，那么就是说很小，这么一个是模糊的概念。 另外，引进模糊集合这个概念来说适用年龄，反正年龄从0开始到最老没超过125岁吧。那么老年人是一个什么概念呢？是一个模糊概念，就划了一根曲线，或者简单点，咱们可以用折线来表示，就是从55开始到70这个上升区间，70以后就是平的。用隶属函数来表证这个模糊概念，这实际上也是一个模糊数。但是因为这个是定义在整个数值线上，例子是定义在有限区间上，就是说不完全吻合，考虑的范畴不完全吻合。 模糊数是用来什么呢？描写一个模糊概念，可以量化的模糊概念，叫模糊数。它是经典的实数的一个蜕变。第一个条件，就是所有的α是一个闭区间，可以把它分解成三条，也就是说那一条，头一个要求是等价于这三条，这三条什么呢？一个就是说，希望有一点，在那一点上的隶属函数等于1，到顶的，这个隶属函数到顶的。因为我举α，α是1的时候，看不出来这个闭区间，闭区间是一定的非空的，所以一定要满足这一条。第二条是什么呢？单调，左边单调对下，右边单调对升等等情况，区间。第三条是什么呢？上边延续，从上边延续，因为两边都是单调的，所以我可以分开，就是左边跟右边是分别描述。那么可以证明这三条就等价于刚才的头一条，从那可以得到这三条，反过来从这三条可以得到那一条。那么为了简单起见，咱们通常只说那么两条，头一条α是一个闭区间，第二条它是有界的，具有这样子的隶属函数的数值线上的模糊质点，就称为模糊数。它很方便的。 刚才所说的第二条，为什么要求它有界，有一定道理的，在这个文献里边，有人代替这一条用什么呢？用隶属函数的细分，也就是说这一条曲线下边的那些是有限的，来代替那一条。当然它有界，质点有界，那么这个集分一定是有限，因为它高度最高是1。反过来，如果集分是有限的，它不一定有界。你比如说，是那个概论里边的，正态分布的密度函数，把它的高度调整一下，调整到最高点1，是中心的这么一样，但它伸展到无穷，它的集分等于1，是有限的。 但是也有它不方便的地方，那样的模糊数，如果我们取两个那样的模糊数相乘的话，坏了，其结果就不是模糊数，因为它一下子面积是无穷大了，不是有限了，所以那很不方便。改成了质点是有界的话就很方便，乘完了以后，还是个模糊数，就比较方便了。所以现在文献里边多数都是采用第二条，是直接是有限，而不是用集分有限。这是模糊数定义。 那么第二个，模糊数的前提，我们就定义用符号N来表示。