我们前面学了假设检验，假设检验我们实际上假设总体均值等于某一参数，这是单种的假设检验，我们也可以进行双种的假设检验，两种总体均值之差是否相等。那么两个总体均值差是否相等的检验，只能在两两之间进行检验，如果对于多个总体，它的均值是否相等的情况，那我们用什么方法来检验呢？实际上就用方差分析来做。方差分析就是检验多个总体的均值是否相等的这种检验。 它研究的类型，自变量是分类型的，能够分类，因变量是数值性的，当然方差分析又分为单因素方差分析和多因素方差分析，如果它的因素只有一个分类变量就是单因素方差分析，如果是两个就是双因素方差分析。我们举个例子，比如说在这个不同行业它的服务质量是有差异的，消费者协会从四个行业抽出不同企业的作为样本来调查一下消费者对这23家企业投诉次数汇总了一个表格。我们发现零售业它的数据有57、66、49、40、34、53、44等。旅游业它的投诉次数是68、39、29、45、56、51，航空公司它的投诉次数是31、49、21、34、40，家电制造业是44、51、65、77、58。那么我想了解它的服务质量有没有关系，我们就可以通过投诉次数来看，想了解一下这个行业对投诉次数有没有显著性影响，最终归结什么呢？归结成这四个行业的均值是否相等，如果这些行业的投诉次数的均值相等的话，就意味着行业对于投诉次数没有显著性影响，那么它的质量没有显著性差异。如果它的均值投诉次数的均值不相等，就意味着行业对投诉次数有显著性影响，它的服务质量有显著性差异。

那么在讲这个之前我们需要有几个概念、几个术语，叫因子或者因素就是所检验的对象，比如说你的行业的投诉次数，行业就是检验的因素和因子，水平这概念，就是因子的不同表现，像零售业、旅游业、航空业、家电制造业就是因子的水平。观测值就是每个水平下得到具体的样本值。那我们来看一下方差分析的基本思想和原理。我们把刚才这些数据如果画成散点图的话我们会发现，航空公司的均值它是比较偏低的，而家电制造业它的投诉次数的均值是比较偏高的，这在我们日常生活中也能体会到，家电当中出现毛病还是比较多的，让人投诉，还有服务安装等等各方面。我们看出来有一定的差异，但是有多大明显，我们肉眼实际上是无法分清楚的，到底差到多大。我们需要搞清楚，从定量的角度来搞到底有没有差异，我们可以用方差分析来准确的分析到底有没有差异，或者差异到底有多大，而不是用散点图模糊的去看待它。 那么有同学说了，比较的是样本的均值是否相等，为什么你的方法叫方差分析呢？这就用到我们所学的，就是我们虽然比较是均值是否相等，但是你分析的工具是借助于方差的，也就是说对于数据的误差进行判断来考察误差的来源，因此它就要方差分析。方差分析它实际上是比较两类误差，以检验均值是否相等，比较的基础是方差比，如果这两类误差我们刚才说了一个是系统误差，一个是随机误差，所谓系统误差就是指这个差异是由于行业本身的原因所造成的，如果是属于误差，就是说这个误差是由样本的抽样的随机性所造成的，和行业本身是无关的。如果系统误差显著的不同于随机误差，肯定均值就不相等，因为是系统误差，行业之间有差异。 方差分析我们说它是借助于分析数据的误差，而数据的误差有随机误差和系统误差两种。什么叫做随机误差呢？就是在一因素的同一水平下，样本各观测值之间的差异。比如说同一行业不同企业它投诉次数是不同的，这种差异我们就可以看作是随机因素的影响，称为随机误差。而系统误差它因素是在不同水平下各观测值之间的差异，比如说不同行业之间本身由于行业本身的原因造成投诉次数之间的差异，叫做系统误差。那么我们数据的误差可以用误差平方和来表示称为方差，分为组内方差和组间方差，组内方差就是同一因素的同一水平下的数据的误差，比如说这个零售业它的投诉次数的方差。那么组内方差只含有随机误差，组间方差是因素不同水平下的各种样本之间的方差，比如说四个行业之间投诉之间的方差，但这种方差组间方差既包含随机误差又包含系统误差。因为不同行业之间的差异可能是由于行业本身的原因所造成的，也可能不是本身原因造成的，是由行业本身原因造成的那就是系统误差，不是由行业本身的原因造成的就叫随机误差。那么这两个之和，行业之间的差异我们把它叫做组间方差。 如果不同行业的投诉次数，不同的行业对投诉次数没有影响，就意味着什么意思呢？组间误差只含有随机误差而没有系统误差。那么组间只有随机误差，而组内也只有随机误差，它们都只有随机误差，这样的话他们的值就应该很接近，它的比值就应该接近1。如果不同的行业对投诉次数有影响，就意味着组间误差除了有随机误差之外必然有系统误差，这时候组间误差就是系统误差加上随机误差，而组内误差只有随机误差。这样的话组间误差就会比组内误差要大得多，那么它的比值就会大于1。 所以当这个比值大到某一程度的时候，或者说存在显著性差异的时候，那么我们就认为它的行业对它的服务质量有影响，换句话说自变量对因变量有影响。所以判断行业是否对投诉次数有显著性影响，实际上就是在检验投诉次数的差异到底是由于什么原因所造成的，如果这个差异是由于系统误差所造成的，那么不同行业对投诉次数就有显著性影响。当然在进行发散分析的时候我们需要做些假定，第一个假定就是总体服从于正态分布，第二个假定各总体的方差应该相等，第三观测值应该是独立的。只有在上述假定条件下，那我们才用方差分析比较同方差的四个总体均值是否相等，四个总体的均值相等，它的样本的均值也应该相等。所以我们反过来有样本的均值接近来推断总体的均值接近的概率就比较大。那么样本的均值越不同，推断总体均值的证据就越充分。

那么我们在写假设的时候，H0：u1=u2=u3=u4四个均值假设相等，而且假设服从正态分布，假设就是至少有一个不相等。那么我们在提问题的时候我们需要进行相应的分析，我们在进行单因素方差分析的时候我们首先把这四个行业的不同水平写出来，在进行具体分析的过程当中我们有三大步，第一提出假设，第二构造统计量，第三进行统计决策，这个步骤和假设检验基本的思路是类似的，当然我们假设检验当中我们构造统计量的过程我们可以说的更加详细一点，首先我们看原假设，原假设H0：u1=u2=u3=u4，假设就是不全相等，就意味着至少有两个总体的均值不相等，但并不意味着所有的均值都不相等。我们构造统计量是怎么构造呢？首先我们需要一个每个总体的一个样本的均值和所有数的总均值，以及误差平方和以及相应的方差及统计量。那么我们首先样本一个单的总体的均值我们是用这个总体的和除以n得到，然后所有数的均值就是所有数的和除以总数得到。这样算出来这四个行业的样本均值零售业是49、旅游业48、航空业是35，制造业是59，总均值是47.86。我们再算总误差平方和sst，它是什么意思呢？就是所有数到总的均值的平方的立差的平方和，算出来sst是115.9295，然后我们还可以算出来组间误差平方和ssa就是用每组的均值减去总均值立差的平方和就是ssa，然后我们再算组内误差平方和sse，就是每一组样本值减去每组的均值平方和sse。我们可以分析组内总的误差平方和等于组间误差平方和和组内误差平方和，这通过相应的证明可以得到，也就是说sst=ssa+sse。其中sst反映的是数据的总的误差程度，sse反映的是随机误差大，ssa反映的是随机误差和系统误差大小。组间误差大小。那么如果原假设成立，原假设什么意思呢？四个均值相等，就意味着没有系统误差，那么组间平方和ssa除以自由度的均方与组内平方和sse除以自由度的均方就会差异不大，如果组间均方显著的大于组内均方，这个各总体之间的差异就不仅有随机误差还有系统误差。 所以判断因素水平是否对观测值有显著性影响，实际上就是比较组间方差和组内方差差异的大小。各误差平方和的大小与观测值的多少有关系，为了消除观测值多少对误差平方和大小的影响，需要对其加以平方就是均方或者叫方差，用各自误差平方和除以各自的自由度就得到了各自的均方。比如说sst的自由度就是n-1，ssa的自由度是k-1，k是因素的个数，n是总体的个数，sse的自由度就是n-k。这样我们可以算出组间方差，或者叫组间均方ssa的均方叫msa，就用ssa除以自由度k-1，组内方差也叫sse的均方叫mse，它等于sse除以n-k，除以它的自由度。我们将msa与mse相比，就是组间均方比上组内均方相比，得到f统计量，它服从于自由度为k-1和n-k的f统计量。那么这个f统计量刚说了，组间均方和组内均方如果接近1的话就没有系统误差，差异不大。所以根据f统计我们可以算个临界值出来，如果你算出来的f统计量就是组内均方与组间均方的比值，如果大于临界值的话，那么我们就拒绝原假设，原假设是什么意思呢？原假设是均值不相等，你拒绝它就意味着它的均值差异是显著的。那么你所检验的因素对于观测值是有影响的，如果f统计量就是那个组间均方比上组内均方的f值就是比值如果小于临界值，那么不拒绝原假设，就不能认为所检验的因素对统计量有显著性影响。那么我们在算用excl算的过程当中实际上把我们的误差平方和ssa、sse、sst都可以计算出来，自由度k-1、n-k，n-1也能算出来，均方也能算出来，组间均方、组内均方，msa、mse然后相比f值也能算出来，f临界值也给出来，k值也给出来。这样的话我们就可以能够用excl，能够把这个因素分析进行分解。