接下来我们看多元回归，多元回归和一元回归的主要区别就在于，多元回归的自变量是多个，而一元回归的自变量是一个。除此之外，它们的推理形式基本上是相似的，那么多元回归的形式，估计出来的方程，在各自的参数上加一个，那么所对应的每个X的前面的系数，我们把它叫做偏回归系数，它表示的是当其他变量不变时，X每变动一个单位，Y的平均变化量。那么对于二元回归来说，我们用一个平面图可以表现出来，它就是在一个平面，样本点落入一个回归面上，它的一个，它这个回归面对于它这个样本嗲的代表性实际上。那么我们实际上对于多元回归的参数进行估计，参数估计是我们仍然仿造一元线性回归的方法，利用最小二乘法，也就是说使得参差的平方和最小，就是说所有点Y到它的估计值外间的离差的平方和最小。然后呢，当然这个时候β值有很多，那么我们对应各自的参差平方和，对于这个偏回归系数求偏导，一阶偏导为0，然后解出相应的方程组，得到相应的系数。 当然这个过程，计算机软件能帮我们完成，我们没有必须进行手工的运算，我们只需要根据计算的结果，能够读懂相应的题就可以了。我们根据上节课讲的一些例子，比如说一家银行它的不良贷款有贷款余额、应收贷款、贷款项目、固定资产投资等项目所解释，那我们就可以把相应的回归系数算出来，算出来能不能直接用，还是不能直接用的，我们需要进行拟合U度的检验，和相关显著性检验，拟合U度检验，我们又分为可决系数检验和估计标准误差检验，跟一元回归有点相似。可决系数我们仍然仿照前面的形式，就是总离差平方和SST，等于残差平方和加上回归平方和，参差平方和是众多X之外的参差所引起的，其他因素所引起的。回归平方和是由于众多X所引起的，它们对应的自由度，总离差平方和的自由度是N减1，N是所有的样本容量，参差平方和自由度是N-K-1，这个K是S的个数，回归平方和的自由度是K，就是自由度的个数。那么我们度量拟合性就是用回归平和放除以自由度，就是SSR除以SST，等于1减参差平方和除以总离差平方和，就是1减SSE除以SST。这种情况下，我们用可决数来考虑拟合系数会发现一个问题，就是当自变量个数增加的时候，这个R会自动增加，为了避免这个问题，统计学家经过研究，对它进行了修正，就是R方本来等于1减SST除上SST，那么在SSE的基础上，除以最后N减K减1，在SST的基础上除以自由度N减1就得到了这个修正的可决系数，所以修正可决系数来说，它比可决系数更加准确的反映出来，线性方程动作X的代表性，拟合程度。 另外呢，我们还可以用回归估计标准误差SE来表示它的拟合程度，SE也叫SY，它是离差平方和除以自由度N减K减1，开根号，也就是说SSE除上N减K减1，开根号，那么它实际上也是一个平均参差的概念，这个平均参差越小，众多样本点到真值的距离就越小，那么它的拟合性就越好。那么估计标准误差是从绝对数的角度来表示拟合性R，可决系数或者修正的可决系数只是从相对数的角度来衡量它的可决系数，可它的拟合程度。那么对于它的拟合性进行检验之外，之后还要对于它的整体方程的回归系数进行检验和单个回归系数进行检验。那么整体方程的检验，我们用的是F的统计量，原假设H0就是所有的β都为0，那么整体方程是不显著的，β假设只有一个不为0，至少有一个不为0，那么它的整体方程不显著，那么它的F统计量就是用SSR除以自由度K，比上SSE比上自由度N减K减1，也就是说MSR比上SSE，就是说回归的均方比上参差均方，得到一个统计量。那么这个统计量，如果大于临界值我们就拒绝H0，拒绝H0就认为整体方程都为0这个条件不成立，那么它至少有一个不为0，那么整体方正是显著的。也就是说如果F大于FR的话，Fα的话，那么就认为整体方程是通过检验的。线方形成就成立，整体方程成立不代表每一个系数它都显著成立，每一个系数的显著性检验，我们设H00βI等于A，β假设是βI不等于0，那么H0成立的认为这个回归系数，对于它没有影响，如果拒绝它说明这个变量对于Y之间有显著性影响，那么它用的统计量是βI的估计值比上βI估计值的标准差，服从自由度为N减K减1的T分布，如果算出来的统计量值大于其临界值，我们就拒绝H0，拒绝H0就认为对应的这个XI，对于Y就产生了显著性的影响。

那么我们有的时候，如果这个X检验出来不显著，我们就要必要把它删除掉，删除之后我们再重新再做一次检验，对于整体方程和单个系数进行检验，直到所有的整体方程和单个系数都通过为止，那么这个检验就到此结束。然后当然我们用Excel可以，这个过程都可以很快的完成，Excel的完成结果有回归统计表、方差分析表和回归参数表。那我们可以通过一个案例，来看一下多元回归的一些应用，比如说销售额和广告媒体的关系，比如说一个VCD的连锁店希望做广告，在电视台，一个是在电视台做广告，一个是在广播站做广告，当然它的广告费用不一样，那么我就想问一下，这两种媒体的广告对于销售额到底影响如何，是不是都有影响或者都没有影响，或者只有一个影响显著，那我们收集相应的数据，然后我们进行相应的F检验，发现F的对应的P值是0.02，比我们规定的α值小，所以整体方程是通过检验的，但是对应的这个T值所对应的P值，广告的P值是0.01，而电视媒体的临界P值是0.17，也就是说广告媒体的P值小于0.05，就是广播媒体它的广告效应要显著，而电视媒体广告的效益不显著，那么就有可能是在有些山区，电视不普及，只有广播，或者是在一些大学城的区域，大家没有条件看电视，只能听广播，这样它广播效果更高。 所以由此我们决策出来，VCD连锁店应该把更多的广告指出放在广播上，而不应该放在电视广告支出上，这就是我们多元回归在我们解决实际问题的一个重要的作用。那么我们介绍了一元线性回归、多元线性回归，都是指的指线性回归，那么在很多情况下，有可能变量之间的形式并不一定是线性的，而是非线性的，或者说是曲线的。比如说我们在学西方经济学当中，总产量曲线、总效益曲线、无差异曲线，它都是曲线方程。那么曲线当中有双曲线，有指数模型、有对数模型还有幂函数，有S型曲线，多项式模型，那么这些模型我怎么样进行判别，第一个我们可以根据散点图看一下它大致像什么样，我们在脑海当中的一些轮廓我们进行对应。另外还可以通过理论和经验进行判断，这样的话我们能够大致来猜测，大致的模型的形状，当然我们可以猜测1、2种或者2、3种，然后进行分析。关键是曲线模型的参数如何估计，我们用一种方法，可以通过变量代换的方法，将曲线转化为直线，然后这样按照线性模型求解参数，求解完参数之后再还原成曲线，这样的话我们就可以把它的参数估计出来。但是有一个问题，并不是所有非线性模型都可以转化为线性模式。那么我们来看一下模型，如何转化为直线模型，如果估计参数，…，这个时候我们利用1/X为大X，那么它就转化为线性模型，Y等于A加B大X，然后再按直线方程进行估计。那么对数模型Y，这如果如何把它线性化，我们就可以来进行线性化。然后呢，对于幂函数…，我们如何进行线性化，这时候我们首先可以将方程两端进行取对数，然后取完对数就等于…，然后进行线性化。对于米函数…，我们也可以先进行对数化，然后利用…进行线性化。对于指数函数，…那么如何进行线性化，同样的道理，我们也取对数，来进行切换。对于多项式，我们可以进行线性化。怎么线性化，我们可以进行变化，我们可以把X除过来，就是…然后再取对数，然后…然后进行变换等等。 那么我们可以看出来，由于你的函数的形式不一样，我们需要采用一些方法，把非线性的形式转化为线性的，然后按线性的方式进行估计相应的参数，然后再还原出相应的参数出来，对于非线性进行回归。那么我们这一讲回归分析，主要改了三大部分，第一个是一元线性回归，第二呢就是多元线性回归，第三是非线性回归，那么在这个过程当中，一元线性回归，就是一个自变量，多元线性回归就是多个自变量，一元线性回归和多元线性回归都是直线回归模型，那么对于非线性模型我们需要加以转换，但并不是所有的非线性模型都能转换为直线模型。那么它的检验的估计的形式，基本上都用最小二乘法，参差平方和最小，然后用各自参差平方和对于它的回归系数求偏导为0，求出各自的回归参数，那么回归参数是不是直接能用，不能用，我们还需要对它进行检验，那么我们对它整体方程进行F检验，对单个回归系数进行T检验，然后我们对于整体方程的拟合性进行拟合U度检验，用可决系数或者修正可决系数检验，或者是利用回归系数标准差SE，就用参差平方和除以自由度开根号，得到平均参差，那么平均参差越小，它的拟合性越好，可决系数或者修正可决系数越大，它的拟合写越好，那么F检验和T检验，P值小雨α我们就通过相应的检验，那么回归系数，回归分析这一章我们讲解到此为止。