刘克：这个i等于1，就是表示正规产品，i等于2表示是假冒伪劣产品，这个语言用的稍微俗一点但是可以印象更深刻。这个wi是表示第i种商品的订货量，其实整个运作过程可以看成是这样，一开始检查过我的库存，我的库存是x1和x2，x1表示正规产品是多少，x2就是表示假的产品有多少。这时候我来决定x1我定多少，x2我定多少，就是增加我的库存量，增加到多少，我为了要满足D的需求，刚才那个D是需求变量，我们知道要满足D的需求。于是wi就表示第i种商品的订货量，这个W就是决策变量了，就是说w1是表示你进第一种产品的数量，w2就是表示你进第二种产品的数量。这个yi就表示你定完货以后注意我们定完货以后送货时间是认为没有的，一定是获得到的，获得到以后这时候你的库存水平就从原来x1，x2变成了y1和y2，这就表示你定完货以后你现在还有多少东西可以卖的。这时候还考虑一个因素是固定成本，这个固定成本是跟订货量没有关系的。 我们知道这个固定成本的出现在库存里面是一个很长的故事。其实一开始最早大概是二战以前人们做库存问题的时候主要是做两种问题，一种是我们所说的报童问题，还有一个是需求率我知道是一个常数，比如说烧暖气，一天烧五吨煤，以每天五吨的速度下降，这时候我可以考虑长期的什么时候拉一车煤来给你烧。当时考虑这个问题的时候也在考虑固定成本。 考虑固定成本以后人们就想象，因为你想有固定成本总是要花一笔钱，你只要一进货，不管进一个也好，进一百个也好都要花这一笔钱，比如说车要跑一趟，或者是打一个电话联系，发电报联系，或者是有人员的差旅费这个费用总是要花的，订一次货就要花这一笔钱，这一笔钱当你卖出去这个货给你带来的利益超过这一笔钱的时候才会订货，否则是不会订货的，这是人们直观的感觉。 如果没有这个k，我是缺一个定量的，就是基本订货水平或者是经济批量订货，我一订货就订上这个水平，保持5件满足这个需求，既然多了少了可以随时调整。我缺一个，四件了我进一件变成五个，这五个给我带来的利益多少反正不管，我的经济批量水平就是在哪。当你有了这个以后，想象一下我一件可能不够k的费用，我得多订几件才可以够这个k的费用。于是就拉长变成了两个元素，我们把它叫SS控制，就是上线控制和下线控制，当你的库存水平低于下线小S的时候你一下子订货就要订到大S的位置，就是你订货的批量足以可以够你这个费用。这样又把钱赚回来了。 当时人们想象就是这个库存只要有，就必然会有最优的，当时有一个诺贝尔获奖者是阿尔罗，一直写了很多文章全是这东西。那在1953年人们讨论库存问题的时候，当时一个很著名的现在整数规划，都在讨论班大家讨论问题，有人提出问题说有了k以后，你这个Ss是不是最优的，到现在没有给出一个理由证明，只是感觉上是这样。最后有三个人，那三个人的名字很怪，可能有俄罗斯人揣摩出一个例子来你这Ss不是最好的，一下子把这个库存界撼动了。大家都觉得以前我们认为正确的东西现在是找到反例了。因为数学家找问题就是找一个反例，对不起就不能说他是对的。就得找条件了，这时候有比较牛的人就是我们知道他在库存界的声望很高。原因就是他回去睡了一觉，他说没关系虽然那人给出一个反例，我给一个新的概念叫K凸线。学了凸分以后，你会知道一般函数凸函数会有一些性质，在这个凸函数再改进一下有一个K凸，这就是的概念。如果这个函数要满足k凸线的时候还是Ss是最优的，从理论上严格证明是最优的。 有了这个性质以后，阿尔罗是最着急的，诺贝尔获得者写的错文章这不得了，就回家翻去了，翻完以后大喘一口粗气没关系我以前讨论的文章都满足k凸线，说白了就是他文章不错，虽然理论上没有严格证明。 我们考虑这个k以后，实际上真正作用会把你原来函数挺连续的东西就拉断了。因为你订货跟不订货有一个台阶，这个台阶的处理不能像简单处理连续函数那么处理，得考虑这个因素。所以这个因素我们得考虑，当然还有Ch和Cp，Ch表示一个单位产品的保管费用，还可以看成这个产品没有卖出去以后砸在手里面的成本。这个Cp如果你有顾客来了，没有货，卖完了有这样的事情发生就会支付这样的Cp，是一种惩罚。对于商家来说对这个数是非常清楚的，虽然不是一个潜在得数，但是在很多库存里面都非常明白这个Cp是多少。通常用Cp比这个Ch大多了。 我们来分析这个东西，怎么做这个事情，因为有一个k在里面搅乱很麻烦，我们首先把状态描述一下，这个Y表示订货以后的库存量，跟订货之前就是把它加起来，这是向量的加法，对应分量一加就完了。然后向量里面有很多演算规则，比如说什么是向量相等，每一个分量都相等。什么是一个向量严格大于一个向量，每一个分量都是大于等于，其中一个要严格大于，还有大于等于这类似于都可以定义这个东西，有了这个以后我们后面要用到这些式子表示。我们首先不考

这时候我们知道这个东西可以利用一个最标准的规则，我们知道这个函数如果是连续的，二级可导的，一级导数为零的地方就是驻点，二级导数要满足什么性质我们就知道它是绩效点。我们注意这都是考虑费用。我们并没有考虑销售出去卖可以挣多少钱，因为在库存管理里面大部分都是从最小自己的绩效化费用出发的，很少考虑挣多少钱。从挣多少钱来讲，卖一件总能挣钱的话实际上是做一个演算以后是可以等价过去的，总理论分析上讲我们都盯在费用上。于是我们就可以算出来，最后验证一些条件。这时候我们的空间是一个二维空间，不是一个单位函数，单位函数很简单画一个图就把这个绩效点找到了，这个东西是一个平面上的函数，是两维的，还是一个曲面，这个曲面找绩效点稍微麻烦一点。但是如果函数凸的话还要最小点。只不过有一些相关性。 虽然是看上去我们订货量是一个二维的，第一个库存量是正规产品，一个是假冒伪劣产品，但是卖的时候是他们合在一起总体卖，是有一个潜在的关系在里面。 我们看看，如果检查概率为q0这个q0发现以后我们怎么描述这个事情呢，当你q0发生的时候，你所有的假冒伪劣产品都被没收掉，我们只考虑没收，你怎么去受处罚呢，就是不够卖的时候你损失的潜在的顾客，把这个损失作为一个损失。其实后面可以把它作为一般一点，这么做简单一点我们处理起来比较麻烦，我们可以看出来这个目标函数就是你在考虑订货量的时候你考虑的函数就是这样vX的函数。 这个情况当你不订货的时候，这时候你就用你的x1加x2满足需求，当你用你的x1加x2满足需求的时候这时候防着人家查不查，假如人家不查你就用x1加x2满足需求。如果人家来查，对不起，你这个假的被人拿走了，只剩下真的那一部分，剩下真的那一部分来满足需求，这是你整个需求给你带来的费用，就是知识产权的费用，上面就是表示真的进货，所有的y要严格大于x，就是你至少进一种货，首先你要付这个k，这个固定费用是必须要付的。其次，你希望极小化你的费用，就是你进货使得你整个期望的费用达到最小，当然这种情况也有两种，这是订货费用跟你没有关系，后面是跟检查有关系的，一旦检查发生的话和不发生你的效果是不一样的。 有了这个表达式以后，我们就可以在平面上定义成因为我们知道是y1和y2两个变量有关系，就是你订货订成什么样子，有关系以后我们把它写成二元函数的形式。分布函数取y这个值的时候正好满足等于他是一个点，和分布函数这两个值加起来满足这样的关系，根据分布函数的性质，分布函数是在0到1之间的关系，于是我们有知道如果s要大于0，就是你检查合格率跟你参数之间是有一些关系的，而这个关系我们看看这是进一件正品的费用，这其实是差价了，就是说你正品的费用跟假冒伪劣产品之间到底能多挣多少钱。Cp就是表示你不够的，缺货这样的比值。这个差价和C1之间的比值关系，以及你受罚减掉C2，这样一个和Cp比的关系，这个关系是自然要满足这种性质的。 我们看看Q0是在这两个之间，既然是在这两个之间，Q0就会落在不同区间上会有不同的效果，结果是不一样的。我们就来分成情况一个一个看，第一种情况我们假定Q0是在C1减C2除以Cp和C1减C2除以C1之间， 如果Q0是落在这样的话我们直接解这个方程，解出来以后我们可以得到两条曲线。一条曲线是关于y1导数为零的，而且这个y2是大于x2所有的点的曲线。同时又得到另外一条曲线，技术上就不说太细了，得到这两条曲线以后我们再把这个k的因素加起来，加起来以后我们可以得到下面一张图。 刚才那两条曲线是这两条曲线的汇点，再加上一个k以后，你把k跑掉以后就把它贴下来了，就把这个平面分成这么几个区域，我们用不同的曲线描述。如果你的初始库存水平如果是在这个区域里面就不进货，什么货都不进，就用你现有的库存水平满足这个需求地是最合适的。如果你落在这个区域会把你库存水平从这个区域提升到这一条线上去。把它提升上来以后使得关于某一个导数为零的曲线，这实际上是O2，这是进一些假冒伪劣产品，使提升你假冒伪劣产品的库存水平达到最佳点。 同样在O1的地方是你的正规产品数量不够，然后你要单进第一种产品，有意思是在这个地方你是两种产品都要进，使得把你库存水平挪到刚才那个交点，这实际是全局最小的一点。就是整个锅在你平面什么地方，有时候歪出去了只能达到边上的东西，达不到最小点，在这种情况下你只能在锅帮上找最小的，这正好锅底落里面了，于是就可以把这个最小点找到。 这实际上描述了库存的管理者他的最优策略，无论是你的库存水平在平面上什么位置都告诉你怎么做，你的成本最小。这其实就把所有的情况都说清楚了。同样我们可以分析其他的情况其他情况就是一些退化的情况，当O0落在不同的范围，这就不多说了。做完了以后我们就给出了一个实例，用一个CPU，当时到海龙做一个调研，就是问