沈仲鑫：好，这次讲授的题目是《X—射线衍射简论》。我们X—射线衍射是非常重要的一个无绳的做材料分析的一个工具，我们在这次讲座里面主要介绍X—射线的光源，还要介绍布拉格定律和劳埃方程以及晶体结构的测定。 那么这个方面的X—射线衍射范围参考书比较多，比较著名的有《Elements of X-Ray Diffraction》，作者是Cullity和Stock，2001年版的。还有一本书是《 X-Ray Diffraction A Prachcal Approach》，作者我已经列在这张投影片上面了。 当然X光线怎么产生的呢？从这张图上面可以比较简单的表达X光的产生过程，也就是这个高速的电子流串接了这个靶，靶以后就产生了这个X光。电磁辐射来讲可能是被衍射的，比如说像光学上的软件或者是光筛，它的主要的条件就是它的尺寸要跟波长相近。那么在晶体中间它典型的这个原子之间的间隔是两个A到三个A，所以它是适合于X光来做衍射的。那么也就是说另外换句话说就是晶体的间隔，原子跟原子之间这个距离是适合于X光的波长产生衍射。那么反过来讲X光也可以用于晶体结构的分析，那么X光的产生，刚才已经说它是一个加速的电荷所辐射的这个电磁辐射，辐射的这个电磁辐射。 那么我们假如这个靶是一个钼，Mo金属钼的话，那么我们加速这个电子，加速到35千伏的时候它就产生了，实际上这个波长就产生了Kα跟Kβ两条辐射，同时还有一些白颜色的辐射。这个Kα跟Kβ是一个特殊的辐射。 那么它产生的这个辐射的波长是多少，这个钼靶来讲是0.71个A，那么一个A是多少，一个A是0.1个纳米。对铜来讲是1.54个A，对钴来讲是1.79个A，对铁的靶来讲是1.94个A，对铬靶来讲是2.29个A。 好，那么当我们X光有了以后，我们X光就是，辐射的X光到这个样品上面。样品上面就产生了很多现象，由云光的X光，还有散射的X光，还有产生电子。同时还有一些穿透的X光，当然这里散射的X光里有两种：一种就是产生一个相干的X光，同时这里还有一个不相干的由compton进行修整的一个不相干的一个现象。那么在这里产生这个也可以说它二核电子还可以产生光电子，这个里面分两个类，可能产生光电子，还有一个是Compton效应。当然不可避免的还要产生热量，那么X光也能够被接受的，这是光学上面的现象。这些指数是这个1是又小一点，那么散射的时候在很小的角度也能反射的。那么X光的折射，这里我们折射的是不去考虑。 那么不相干的这个散射，我们这里是这么来考虑，也就是电子或者光子就是通过这样子一个方程来描述。那么我们这个光就是说过来以后，我们假定这个落色的这个光它的波长是λ1，那么显然它的这个光子的能量根据这个公式它的E1就等于h常数乘上它的频率V1。那么当然可以这个光是进来把那个电子就是撞到一边去了，那么它这个光子就是也进行了散射，有一个2θ的角。那么当然它这个入射光的光子比较高，那么散射的这个光的光子平均相对低一点，它能量有损失嘛。那么所以它产生了这个波长为λ2这个波长，平面也叫V2。那么显然我们这个λ2这个波长显然要比λ1要长，那么它的这个Δλ就是等于它的平列的分量。那么我们可以最后简化成0.0243（1-Cos2θ），2θ的角就是它散射光子跟原来这个光子入射方向之间的角度。那么这个关系里面入射的光跟散射的光之间没有固定的这个项之间的关系，所以它是不相干的，也没有对衍射有贡献。那么它在衍射的图样中间，在衍射的花样中间是一个暗的背景，我们这里事先把X光产生过程中间一些现象做一番解释。

好，那么我们现在再来看一看这个荧光的X光。荧光的X光我们这儿有一个能气，这个地方我们表示它的和。和里面有不同的这个层次的电子，有Ek、El1、El2、El3，那么当然它这个刚才说了能进。这个电子的扩成有K、L1、L2、L3。当这个光子进来以后它会产生这个特征的X光，马上它把这个电子打出去的时候它是从内层电子打出去的。就是能量比较高的电子又移迁到这个能量比较低的内层的电子，这样就是产生一个特殊的X—射线，我们也称它叫荧光的X—射线。那么看上去是有点像散射，但是它这个时间就是需要将近0.1C秒要迟，也就是相当于10负16次方秒时间上还是有差。那么这个是我们简单把荧光的X光做一番介绍。 当X光在晶体中直接跟晶体相互作用的时候，会跟原子、电子自己相互作用的。那么在入射的X光当然也会电子产生振荡，就会变成一个第二个2次的电磁的辐射的一个源。那么这个第二次辐射源在每个方向都有的，那么我们这个就是由电子发出的这个波跟绿色的X光是有相同的频率，这样因为有相同的频率可能产生干射，这是相干了。这样的一个发射就是可能是加强了或者是减弱了这样的干射跟其他原子散射的波，那么现在这个概念就比较清楚，入射的X光，还有二次的一个发射。 我们有这个光入射的结果就是使电子云产生振荡，核呢，比如说也进入这个振荡，这个效率比较小。因为核不太容易引起，它的力度还不够，所以它会相应比较小，这里我们就不去考虑。 那么振荡的电荷会重新反射辐射，它这个产生，它的相位是跟，落色的X光是同相位的，这个是我们研究的重点。它这个同相位，所以它这个颜色是会加强的。

我们先来看一看这个布拉格方程。布拉格方程其实这个布拉格方程它有这个Ray1、Ray2，那么显然你们看这个Ray1跟Ray2相位差有多少，在这里我们做一个垂直线，这个是直角。显然它的光程长是这么一点，对不对？好，那么到了这个第二个连面，这个是第一个面的反射，第一个面的反射。到了第二面上面还产生这根线，这根线是散射以后的光线1，这个是散射以后的光线2。它们两个线之间相互差多少呢？相互差有四多个垂直线有四，这个一小段。那么你们看这个，它是入射线和的角度是θ，那么你们看这个一根线跟这个是垂直的，这根跟这根垂直的，所以这个角度也是θ。所以这个地方四个θ都是相等的。 那么既然这四个是相等的，光线1跟光线2之间的光程差是多少？原来这个一段跟这个一段也是相等的。你们看这一根这个地方的距离是多少，正好是它的界面间距它是d。那么这个是一根多少，是第三θ，对不对？因为这个是直角，三θ再乘上这个斜边就是这一段。好，那么它是这一段加上这一段就是光线1用光线2它的光程差，那么就是2dsinθ。那么对这个加强的，信号加强的这个干射显然就应该是波长的整数倍，总的光程加等于波长总数倍是加强的，这个地方小的n是什么呢？小的n就是这些整数。那么总的来说它这个入射线，这个是入射线对不对？跟远射线差多少角？这个是入射线，这个是远射线差多少角？这个入射线，这个是远射线差2θ。

好，那么刚才我们用直线的形式来表示的，这里我们用波的形式来表示。那么到了这里我们这个波就散射了，散射以后到了这里也散射，两条波之间有光程差，也就是有相位差的。所以怎么计算，原来就是这里的AY和这个YB加起来。那么我们对这个从原子来讲，我们这个同Kα它的是这个是1.54A它的波长。那么当然这个晶格是跟X光，X—射线的是都是在那个A的量子上面。 好，那么现在这个概念比较明确了。也就是我们假如在面上的散射是跟入射的波是同相位的，那么还有一个情况也就是散射的跟移过这个面的这个散射也是同相位的。那么是什么情况？ 这个情况就产生是这个波，最后产生这个波是加强的。那么这个原子，我们这么简单一个平面平面，这个都是原子的面，这个都是类似。看上去是一个反射，其实它是一个散射。我怎么样去就是说我们也要这么来写，那么也就是说入射的角跟散射的角是相等的。那么我们刚才已经说了这样我们来计算它的相位差，请注意我们这里再强调一下它这里，我们实际上还要强调散射而不是反射。为什么呢？因为反射只在表面上有，而且它每个方向都有。而散射加强的散射尤其，那么它只能够在一些方向上有，一定要满足它加强条件，你才能够看到这个X光。 那么当然我们要注意到这个布拉格方程原子之间的这个间隔，连在这个面的方向它是不出现的，那么我们可以改变这个位置或者这个原子这个面的原子之间的间隔，这是对应项布拉格方程的。也就是你把这个方向移动了，这个没有用，就是对这个布拉格方程没有影响。或者是你从这个方向就是压缩了飞缩了，或者膨胀了也不影响布拉格方程。 那么刚才已经说的比较明白了，也就是它整个光程就是AY+YB，它等于是波长的总数倍，也就是基于这样的方程。那么AY等于什么呢？AY原来是等于XY，AY是这里。XY是这样，XYCos180减掉这个α+θ，这个是θ，这个是α。这个α怎么减呢？它是晶面跟XY之间的夹角。根据三角关系显然这个角在第二象限，所以就是等于X，在第二个象限它是cos是4的，对不对？所以变成负的XYCos（α+θ）。那么YB呢，类似的它是这个地方是XYCos（α-θ）。那么我们这里主要把它写成合在一起，这里括号里面就是Cos（α-θ）-Cos（α+θ），这个是两个，我们可以用这个和差化成积就得出来一个2的2×Sina Sinθ，这个是中学的三角。 这个是咱们中学的三角，那么我们再把这个A部分，这个写到主要这个里面去，这个里面有一个d/Sinα，d跟Sinα等于什么东西？这个是d，这个是α对不对？除以这个Sinα，这个是d了。d除以这个Sinα，那么这样子XY就是d/Sinα，XY，这个是d，这个是α。请看这个是α，这个是d，d/Sinα就是XY，这个是XY。 好，那么这样一带以后这个Sinα又掉了，又等于2dSinθ，那么我们这个很自然而然的，也就是不是在刚开始那个很特殊的情况下面，这个是在倾斜的情况下面这个布拉格方程也是成立的。大家可以仔细地看一看这个图的之间的角跟角之间的关系，还是同样可以推导出这个布拉格方程的。那么这个同时也说明了这个一些实际上面它这个一些移动不是一个问题，一个系统的移动不是一个问题。 好，那么我们也可以考虑在这个θ1不等于θ2的情况，有的时候是可能相等，有的不相等。那不相等的情况下怎么样呢？那么也是根据我们同样的类似的方法，它就是等于AY对不对？AY这个地方是光程差。还有这个地方有一个XC，XC在这个地方。那么这样的计算它的光程差等于是hλ，这样类似刚才推导的方式我们就得出了一个劳埃方程，这个是劳埃方程。那么经过这样的关系，我们两个把光程差放在一起就是a[Cos（θ1）-Cos（θ2）]=hλ。 那么到三维的情况，刚才讲了一维的情况，到三维的情况这里当然类似的b[Cos（θ3）-Cos（θ4）]=kλ，c[Cos（θ5）-Cos（θ6）]=lλ。那么我们知道λ，这个什么东西？S0就是入射的X光，S就是散射的X光的这个光束。那么这样一来我们可以改写成a·（S矢量-S0矢量）=hλ。b·（S矢量-S0矢量）=kλ，c·（S矢量-S0矢量）=lλ。那么这个看上去是原子的这个正列的一个颜色，而不是像这个面的。