沈仲鑫：那么从这个散射物理图象来看这个衍射，我们布拉格方法就是比较，看这个衍射有点像反射就是从这个一系列的面上的反射以不同的佛祖来理解这个晶体衍射这个现象。 这个面的图象也就是这个布拉格方程看上去比那个劳埃方程更简单一点，因此我们也应该涉及到这个问题我们应该反复考虑，反复考虑是不是就是在这个散射面上没有原子。那么这个散射为什么，怎么来的呢？其实就是说布拉格方程就是它就是说看上去是一个反射的这样一个方程。但是你并没有，它是没有反射的。就是说没有反射的这个加强，假如这个布拉格方程可以满足的话可能反射，根据它这个方程可能反射会发生。这个地方就是把这个问题搞得混淆起来了，混淆起来了。但是我们要注意到我们这个X光的衍射我们是一种强化了的相干的反射，那么我们为了把这个问题到底是散射还是衍射，还是反射，我们把这个一些问题澄清一下。 什么是反射呢？反射是通过这个表面来产生的。而我们衍射是通过这个整体上来产生的，那么这里。这个散射请注意，散射在任何角度都可以。但是衍射只有满足这个布拉格这个角才有的，这就是一个很大的区别。第三个不一样的地方就是这个差不多强度的100%是可以反射的，但是在衍射里面只有很小一部分X光强度是被衍射的。好，我们这里已经，上面有一些比较混淆，比较有一点模糊的提法，我们可以通过这个反射跟散射来做一番比较可以澄清一下到底这个X—射线衍射，是散射还是衍射，还是反射？现在就是应该比较清楚了。所以说X光可以在很小的角度，很小的入射角可以被反射的，并不是绝对没有。 那么但是我们回过头来nλ=2dSinθ，这个是布拉格方程，n这个里面是整数。而且这个是反射的一个。那么对同kα这个辐射它的波长是等于1.54个A，那么它这个d110，在110面的它这个就是晶面间距是2.221A。我们把这样几个数据做了以后我们看看这个表，我们在第一阶段的反射也就是这个地方n等于波长及选定了1.54A，那么角度是多少？角度是20.7，Sinθ马上就出来了。所以第一阶段的反射什么呢？从110来的。那么这个第二阶段的反射是在这个角度，在刚才的角度上，在43.92度，那么Sinθ我们也可以计算。好，那么它第二阶段这个反射从这个，那么这个一个可以写成220。大家也知道这个220跟110其实是平行的，那么它这个晶面间距比220要比d110要小。这个晶面间距要性。 那么这个晶面间距有一个公式的，这个公式就是dhki，hk就是晶面指数，上面是晶的长度除以h平方+k平方+l平方开根号。那么显然你们一看这个根号8就是2根号2，两个一比是不是根号又掉了？是不是2根号，就是等于它的d220的话，它的晶面指数这是4，这个d110的二分之一。这个就是我们把这个X光就是跟衍射，晶面的间距也是密切的结合在一起的。 那么这个在nλ这个反射就是我们现在就是可以说用反射说起来好像，这个公式也有符合反射，但是其次它是衍射。那么我们当然也要考虑其实相当于nh、nh、nl这个晶面的第一阶段的反射。我再重复一遍，这个nλ=2dhklSinθ，这个是通用的布拉格方程，对不对？那么我们假如把这个n，小n除到这个地方去，这里是什么东西呢？这一个晶面间距就会变成这个地方的d是nh、nk、nl是不是等价的？ 好，那么像这种10度，这个是前面有衍射，30度、45度。这个背面的，所谓的背面这个是向前走的，这个光线。这个是反射，这个有点就是被反射。当然这里也是被反射，90度实际反射。也就是说超过了这个角度，超过45度，从45度前它是正向的衍射，超过45度以后就有反向的衍射。 这样子也就是我们这里它是怎么样会产生这个X—射线，衍射的强度。因为它主要是由于X—射线占据了这个电子，这个电子也被散射。总而言之，它这个效益通过晶体被散射这样的效应出来。当然它这里还有一个偏正的，还有一个偏正的因素在里面。所以严格来讲有散射的一个值在里面，我们这个散射因子就用f表示。这里的C代表了一个晶体的结构，总的一个结构的一个原包，应该来说代表了一个原包。它有一个总的来说有一个F的结构的因子，这个地方都会影响X—射线衍射的这个图样。那么反过来说我们通过这个X—射线衍射的图样可以测定这是什么样的结构？

好，首先我们来看一下对电子的散射。也就是说这个地方我有一个入射的X光，那么这个地方把那个，这个是一个电子，当然电子进入振荡。那么电子进入振荡以后怎么样呢？它这有一个X光自己反射光，反射的东西是每个方向都有。假如当它这个平面跟波长是保持一定的时候，我们是相干的。这样子就定义了我们它们之间相的关系，就是波长跟频率保持一致的话就是同向的。当这个电场是一个电子加速的最主要的原因，有了电场电子才能加速。那么在运动中间这个带电的粒子也是在这个垂直方向，在垂直运动的方向是比较强烈的辐射，产生比较强烈的辐射，所以这个辐射是沿着运动方向是偏正的。 那么对于这个偏正的波其实就是，可能有的同学感觉偏正有点困难。其实我们有的在配那个眼镜就有那个偏正的配眼镜。那个立体电影就是三维戴眼镜的，那个也是偏正的眼镜。也就是说它正本方向就是有正本方向那个方面比较强，我们来看一看假如我们设定向右面是X方向，向上是Z的方向，那么对这个在一个方向振动的波，我们可以写成下面，它的强度可以写成这样一个公式。我们的观察点在什么地方呢？你观察在这个P，大P这个一个地方。在这个点P这个地方，当然我们这个振动这个距离r是大大的比这个波长要高。所以我们这个公式是大写的I等于大写的I0乘上上面的分子是e的四次方，分母是m的平方c的四次方，再乘上括号的Sinα的平方，下面是r的平方。刚才这个r已经定义过了是比这个λ要大得多。 这个α是刚才那个角，那么这个m平方是什么东西呢？m平方它这个是一个核子，核中间的质子，质子的质量这样平方。所以它那个散射的也可以面偏正的，也并不是一定说是线偏正，面偏正也有。那么这个曲线怎么解释呢？回头我们会进一步解释。 那么根据这样一个情况其实X光它产生的就是一系列的圆锥状的这个散射波，一个是正向，一个是异向。 那么好，对于没有偏正的波，比如说我这里，什么叫没有偏正的波？也就是说每个方向都有振动的，这个是叫没有偏正的波。比如说我现在像这个YE方向，你们看它既然有CY，有这个E到处都有了，就是没有偏正的。对这种偏正，这种波的波长我们怎么来测量？当然它的强度，我们在这个方向显然还是用勾股定理，对不对？这个E等于E的平方等于什么？当然是等于Ez的平方加上Ey的平方。但是我们假如经过一番计算，这个很有意思的。那么它的强度很有意思，也就是Y方向强度的分量，就是强度分量的，正好是沿着入射这个光的一半，这个我们可以通过一个比较简单的积分可以做出来的。因为我们现在计算这个强度都是一个平均的强度。 那么当然也就是说电的这个振荡在每个方向，在Y的平方方向振荡，它有一些角度就是φx、φy、φz，那么我们也就是在这个P点上这个强度强度怎么计算呢？我们在这个Py这个强度我们用刚才那个公式就把φy怎么带进去？在θ上就把φz带进去，那么加起来，这个叠加起来，这个就是叠加起来的意思。 那么这样我们继续进行一番简单的计算，当然根据这个三角函数里面的这个恒等式，我们把Sin（φy）平方可以变成1-Cos（φy）的平方，这个我三角里的恒等式都可以改写一下。最后简化成2-Cos（φy）平方-Cos（φz）平方。我们注意到这个什么，刚才前面小段我们已经讲了这个是一个方向余弦。方向余弦是一个单位，其实它是一个单位质量的一个分量，显然它们Cos（φx）平方+Cos（φy）平方+Cos（φz）平方等于，也就是说它的方向的Cos平方加起来和是1，这个是非常显然的。 当然我们这里面也通过，因此所以我们就是说最后这一部分就变成，这个在P点上的强度就等于入射方的这个强度，这个上面分子上e的四次方，下面m平方，这个是褶子的质量，c的四次方，这个是光速，这个是电子的电荷。这里就是2θ就是说它的散射的一个跟X角的一个角度。这个r已经说了是我们的观察点就是考察点的跟这个离开的距离。

那么我们简单的一个图象就是我们这个衍射面，B是我们衍射面，这个红的I是我们入射的X光，这个P是衍射的，这个产生或者是相干反射的一个方向。这样我们就比较明确，我们写成这样子的一个Cos2θ平方，那么好，这样一个强度的关系就非常清楚了。当θ是0度，这一部分是e是不是最大？当θ是90度，它是最小。是90度因为这个也是0，是不是？2θ是0，2θ是90度。那么这个是最小。那么当80度的时候，这个是负1的平方还是负1，所以形成了是这样一个强度的曲线。那么现在就是把刚才那段强度的曲线我们做了进一步的解释，一般地来讲我们这个P在三维空间，就是这个三维空间的。我们这里为了简化起见就是写成二维空间，画成解释成二维空间的。那么对这个特殊的情况就是布拉格显示特殊的情况，入射的方向是IO，那么衍射的方向是OP，它这个反射面就是位于什么地方呢？就是位于这个BB，B跟B这个地方。所有的共面的这个OP是被限制于xz的平面，这个OP是被限制xz的平面。这样是比较简化，再可以说明一点入射角、衍射角，那么这个时候是入射角方向，对不对？好，那么这个里面什么角度？2θ，很有意思。这样子为我们带来这样的，给我们这个X—射线这个晶体结构的分析带来很大的方便。 那么对我们没有偏正的那些波怎么样子呢，当然有些东西是类似的。但是它这个上面当然这是Ey这个方面，假如说这个角是90度，这个方面也是e）。在这个Ipz这个方面，当然它这个是Cos2θ就是刚才画的那样的曲线。在不同的方向我们进行了一项分析，这个曲线分布跟刚才我们讲的是类似的。这样的情况下，这个散射是没有偏正的。那么显然我们这里这一部分是一个偏正的因素，我们就是可以用到来说明有没有偏正的情况。 好，我们现在可以进一步来看一看就是对原子的散射。这个对原子的反射对我们结构分析来说是很重要的一个部分，对原子的这个反射跟原子的系数是成正比的。那么也是跟各类散射对电子或者对一个散射形成的光程差有关的，当然还跟波长有关。那么这个散射，对原子散射，这个里面原子系数我们用大写的Z来表示。我们这些角度就是Sinθ跟λ我们写成这样的因子。也就是散射的角是导致了这个光程差，那么正向的所有的反射都应该是通向的。这个小f我们怎么定义呢？我们定义是原子的散射的因子。我们怎么定义呢？就是定义为分子上的是原子散射，对原子散射的这个波的正负，那么分母上是对电子散射的波的正负。那么它就是说我们这个结构散射因子f就是，这个θ，Sinθ除以这个λ作为一个横角，我们就可以用图解的方法来看这个对f的影响。随着这个Sinθ的增加，因为来的波长是一个常数，所以它是这个小于负1是减小的。 好，现在这个比较清楚了。假如原子系数比较大，相干散射比较大。不像反射比较小。那么当Sinθ这个除以波长这个因子比较小，那么相干因素也比较高，不相干的因素比较低。 我们再来搞得比较清楚的话，也就是我们通常来讲晶体的原包各点像一个涡流的一个结点一样。那么或许就是说，并不是说一定需要要原子都在那个晶格的结点上。但是它这个原带这个形状都是一个平行的六面体这个三维过程，这个三维空间。那么是不是有那种附加的就是原包中间有附加的原子？这个主要是取决于它是不是一个原始的，附加的原子是不是它整个图外的部分，它整个图象的部分。

这里我们来看一看对这个原包的散射，现在明显这个是一个相关的散射。是代表了一个晶体结构，它不散射波，通过不同原始的是会产生干射而产生衍射的图样的，这个里头就是这样。这里散射，这里有没有散射，这里没有。这里就有散射了，因为碰到原质，这个波峰的原质散射，这里也没有。比如说像这里没有，这里有，这里没有。所有的这个散射波到中间一个层，中间这个层是没有同向。也就是说到中间这个红的，这个入射衍射线之间跟上面的没有同向，跟上面的绿的。 好，那么我们现在光线1、光线3、还有光线2。光线这里的散射线是R1，这里光线3的散射线是R3，光线2这里是R2。前面我们注意这里面我们A是原子的，B也是原子的，C也是原子的，A原子跟C原子是一样，它整个原包是这样的原包，我们通过一些二维的方式放进去。它这里小写的a这里是间隔常数，这里的黑颜色的d是h00也就是说a面跟c面之间的晶面间距。我们设定它是h00面，这个面是h00面，所以它晶面艰巨就是d00、dh00，我们这么来看。那么它A跟B之间的距离，我们用大写的X来代表。我们再来进一步看看这个情况。 我们经过进一步情况的分析，AC就是h00，那么dh00就是a除以h。这个地方的MCN，NCλ就是它加起来它的乘差对不对？小于AC，还有AC是dh00，这里MCCN加起来就是它的光程差。那么它们跟λ都是在同一个量级上面的。那么AB、AC呢，也就是说AB、AC必然是跟A跟C不同的原子。那么所以AB把它写成x，AC是写成一个λ，这个λ我们通过跟上面的关系就是劳埃方程的关系就是写成了一个a/h。那么这样子一来的话，我们MCN，M、C、N又是布拉格方程，又再一次用布拉格方程，第一级的布拉格方程。那么第一级的布拉格方程其实也就是它是R1、R2，对不对？R1、R2之间的一个分量。那么同类次的还有δ的R1、R3。那么当然我们这里既然有光程差，我们非常容易把光程差去除以这个波长，再乘上2π得到相位差。那么类似的我们相位差也可以用它的这个来计算，用这个公式来计算。同样我们光程差δ也可以用φ除以2π再乘上X光的波长来得到光程长。那么这样的话我们转换来转换去，我们这样子概念就搞得比较清楚了。 那么既然我们这样情况我们三维的，我们这里也就是三维的这样子一个光程差或者说我们这个相位差就可以写成，这个光程差就写成2π，乘上什么呢？包括里面的是hx，加上ky），加上lz。那么这几个因素，这个光程差是跟原包的这个形状是没有关系的。