沈仲鑫：好，这个相位差，我们描述为就是2π（hx +ky +lz），那么它以复数的形式的表示，我们可以写成这样。子数的部分是i[2π（hx +ky+lz）]。那么如果这个原子B跟A不一样，那么它这个正负可以用相应的就是散射因子f来代表。那么最大的这个所有散射部的正负，我们可以怎么样子，就是可以通过这个原包的这个散射因子来代表。这个原包的散射因子我们就叫它结构因子F，那么原包的一个散射是等于什么呢？等于就是说原子和原子散射因子的位置取决于，这个是f。那么F结构上的因子它就是说定义为在这个地方的，定义为这个分母上是对电子散射的波的这个正负，分子上是在原包中散射的这个波的正负。那么显然的话这个是跟结构因子是跟原子在原包中的这个位置是有关的，位置有关的。所以总的来写它这个大的I是∝F的平方。那么总体上来讲我们就是从这个方块我们来看，大的F，这个n，hki等于什么呢？等于j从1到n，fj乘上eiφj等于什么呢？等于就是我们又求和，从这个j等于1到nfj，那么ei[2π（hkj+kyj+lzj）]。那么这是在这个原包中间，那么我们就可以用求和的方式加起来。这个原包的这个散射的因子可以对不同的结构进行计算，这么样子我们就可以进一步理解为什么有的线条会出现，有的线条没有出现，这是它的原因。那么实际刚才已经讲过了这个结构因子是跟它的形状，跟原包的形状和大小是没有关系的。 我们来看看下面，这个结构因子我们从简单到复杂的来估算一下。这个结构因子的计算，我们现在看简立方，简立方我们这个原子，我们定义为在000以及这个相当的这个位置上面，那么当然我们要注意到对这个简立方这个结构，我们注意到e的niπ，e上面是niπ，这个等于什么呢？这个等于是负1的n次方，为什么呢？因为这个e的这个iπ等于什么呢？我们经过这个欧拉公式我们可以写成Cosπ+iSinπ，我再重复一遍，e的niπ可以改写成两部分，我们把n留在，e的n留在那个地方，那么它可以改写成就是说Cosπ+iSinπ。显然ISinπ这部分是0，那么在Cosπ是负1，所以它就是负1的N次方。 好，现在就更明确了，假如这个n是一个奇数，那么这个子数这一个部分的值是负1。假如这个n是一个偶数，那么这是一个正1。那么所以我们是这么样子来进行计算。当然我们也注意到Cos（θ）可以用子数形式了表示就是eiθ加上e的负iθ除以2，那么这样子我们注意到这样一些基本的计算我们来开始估算一下这个原子的结构因子对我们X—射线衍射线条的影响。 我们注意到对简立方它这样是一个原包，一个圆只是被大概这样的简立方所共享。那么它是这样八个原子，其实这个就是说八分之一乘八，最后还是一个原子。所以我们再加上原子结构因子的时候对这个简立方这个原包来说就是1，f就是，我们就写一个小的f就可以了。那么对子数项这一部分怎么算呢？显然这一部分就是000。那么这一部分0你加起来就是0，那么这个2π乘上0就是0，这个上面是1的0次方。1的0次方就是1，所以对简立方来说它的结构因子就是它的原子的散射因子。对它这个强度来讲显然就是F的平方等于小f的平方，那么F有四根散射的面跟hki没有关系，这是一个最简单的是这样子一个情况。

好，那么我们来看稍微复杂一点的情况。也就是在底心这个情况。那么看底心这个情况，我们刚才已经说了角上的原子对这个原包来讲，角上原子是八分之一乘八一个，那么对这个面上的原子来讲是两个享受一个，所以二分之一乘二又是一个，所以一共是两个。那么一共是两个我们就分开算，这个是对原点上，我们把这个也设定一个原点上，把这个设立在下边的中心。那么下边这个原子左边就是这个地方是xj等于二分之一，yj等于二分之一，所以这个示意就是表示是零。好，这个部分计算就是类似，这一部分都是0，那么好这个地方就是e就是一个f。这个地方这是0，这两个就是说等于是2π乘上h+k分子2，二分之h+k。那么这样的话掉了，所以我们可以把小f提出来就等于是[1+eiπ（h+k）]。这个是一个h+k，这个部分是一个时速，这个部分是一个时速。那么我们这里怎么来判断呢？还是跟刚才的判断类似，假如h+k，四个、两个，两个有都是偶数或者都是奇数，请注意两个都是偶数加起来是偶数。那么就是，这个地方就是一个e，对不对？两个都是奇数，加起来起来偶数，这个地方还是e。所以对它是一个h+k是偶数，那么大的F等于2f，所以F平方等于2f平方。那么请注意这个例子就是对e.g001，110、112、021、022、023。这个地方这种线条是可能出现的，这个界面反射能够出现的。 但是假如这个h+k是偶数，也就是有可能这个h是偶数，这个k是奇数或者是h是奇数，k是偶数。这样子加起来还是奇数，所以这个部分结构因子这个部分是，这个部分是一个负1，这个部分假如说是负1的话，那么1减掉1等于0，所以这个产生大F等于0，那么当然F平方等于0。那么请看这个100这个面限制就没有线条，101、102、031、032、033就没有线条。像对这种情况来讲对这个子数i这个子数是没有关系的。因为i这个子数在结构因子中间没有出现，这是第二种稍微复杂点的情况。

那么我们来看一个比较简单的协方的，001的这个投影。那么就是这样子一个说明，这样子说明。总而言之来说，这个蓝颜色的面在这个…上是被散射的，这个为中心的，这个红颜色这个面。那么当然它有的就是，刚才已经说了有的是没有相位差，有的正好是相位差是180度相差，那么这样就是当然有的就没有出现，有的没有出现。这样的一个分析是跟，就是刚才说的h+k是一个偶数线条不出现一样的道理。 这里是进一步说明001晶相投影也是同样的道理，假如说h+k是偶数，这个线条，这个x射线线条我们能够检测到能够测量的。 好，我们再来看稍微更复杂一点的情况，也就是梯形的情况，这个是第三种情况。梯形的情况我们还是用同样的公式，还是fj乘上这个e的i里面是[2π（hkj+kyj+izj）]。那么这个怎么算？因为这个梯形比较清楚，其实它也就是两个原子对这个原包。为什么，这个是梯形的协方。你们看在角上是有八个原包共享一个原子，所以是八分之一乘八是一个原子。好，那么梯形这个是它自己所独有的，好，它的坐标是多少？是二分之一，二分之一，二分之一。好，那么我们其实我们这个因子，我们这两项，一项就是000带进去，0200带进去，这里显然e的0次方是e。我们这里就是把那个二分之一、二分之一放进去，那么这个二分之一这个二跟外面这个2π这个2的系数约掉了。这里就变成eiπ（h+k+l），那么这样一个东西是一个实数的部分。 那么我们这么来看假如h+k+l，以前我们用前面两个同样的分析方法，h+k+l是个偶数，那么这个大F是不是等于两个小f。好，F的平方就等于4个f平方。好，这样的线条你们看像110、200、211、220、022、310，因为为什么？这个1+1，2对不对？2，这个也是2，这个也是偶数，这个2+2等于4也是偶数，2+2也是偶数，这个也是4，这个1+3也是4，所以这些线条可能出现的。 那么跟刚才的这个分析，假如h+k+l四个奇数显然这是一个负e，对不对？因为这是一个奇数的话，那么e的这个π的奇数是负e，负e之后，负e，1+负e当然等于0。所以这个线条不会出现的，像100、001、111、210、032、133一样的道理。我们假如还不是太清楚的话，我建议同学们大家可以自己做做看就明白了。原来如此，为什么就是有这个线条，对这种结构类型没有像刚才说的那种h+k+l是奇数的情况，现在不会出现的。原来是结构上的关系。

好，我们再来看进一步来看更复杂的情况。那么更复杂的情况，那么更复杂的情况我们就是像面心立方，面心立方它的情况当然一个原包中间的原子数更多，所以角上是一个，角上的原子是多个原包共享一个，一共有六个面，这个面心立方。六个面面向是两个共享一个，所以它一共有几个面？六个面。六个面就是直接乘6就是三个原子。所以这个原包一共有几个原子，有四个原子。四个原子情况下我们就把它的坐标带进去，好，第一项跟以前讲的一样，这个部分肯定是1。这个部分因为我们就拿这个作为一个参考，就是作为一个底部这个圆作为一个参考。它的坐标就是二分之一，二分之一零对不对？好，那么带进去。带进去以后这个2跟2就约掉了，上面就是，对不对？就是这个一项。h+k，要看h+k。h+k假如它是偶数，这个就是e。假如它是一个奇数，这个就是负e，我们就改写成这样一个形式。 好，那么我们来看假如h、k、i没有放在一起，比如说它那么多奇数，什么叫没有放在一起呢？要么都是奇数，要么都是偶数。比如说111三个都是奇数，那么这是奇数的情况怎么样？这里加起来就是，这个还是偶数吗？所以是e。那么这里还是偶数，这里还是偶数，所以这个地方是有这个信号。所以跟这个子数没有关系，但是每一次都是跟有一个子数没有关系，所以这些线条是会出现的。111、200、220、333、420，那么所以它的大F的平方等于16个f平方，因为4个平方就等于16了。那么这里请注意这里所谓的，假如说都是奇数都是偶数，这个线条都出现。那么很有意思的拿它混起来，既有奇数又有偶数，这个就没有戏了。100、211，你看它这个偶数，这个是奇数，这个是奇数，这个是偶数，这个是奇数，这个是偶数，这样的话这个线条就不会出现。 那么这个已经讲清楚了，那么对于两个偶数，一个奇数，像这个112。但是后面是两个偶数一个奇数这种情况，那总的来说也不会，这个情况是不一样的。那么我们带进去计算以后是可以做出它的结果的，比如说像刚才说的这个情况。这两个是偶数，这个是奇数，这两个是奇数，这个是偶数。这个一个是奇数偶的，这个两个是偶数。这个情况就是比较复杂，我们要分开算，像这个1+1-1-1等于0。这个情况跟这个CASE A，这个情况A，这个情况B也是一样1-1+1-1等于0。所以对这种情况，这个子数是既有奇数又有偶数混在一起的，它总的结构因子等于0。那么像100、211、210、032、033，我想不知道大家清楚了没有。假如没有清楚，我希望自己根据这样子一个公式我们可以自己做一做。 那么对没有混在一起的这个应该就是说是111或者是222，就是全奇数全偶数，这个是。那么全奇数，这个全偶数情况怎么样？这个都是加强的，这个也是，这个也是，最后就是等于F平方等于16f平方，那么像111、200、220、333设立这些线条都是出现的。我再重复一遍，对这个这种结构因子这种原包来讲，它这个什么时候加强这个线条能够出现呢？要么它全是奇数或者全是偶数都行的。那么对于它又是奇数又是偶数混起来的，那么这些线条，这些精炼都不能出现。也就是说经过这个散射以后，这个最后结构因子加起来总的叠加的效果是0。

好，那么我们来看一下这个第五种情况我们来看一下，这个是化合物的情况。大家一定要认识到像比如说氯化钠，你们看一个灰不溜秋的离子是氯离子，那么红的离子我们用代表了钠离子。其实你们看对这个灰的氯离子来讲它是一个面心立方的结构，显然我们就是可以参考，也观察那个面心立方结构那个计算。那么钠离子，其实钠离子也是跟氯离子这个结构是类似的，它也是面心立方结构。尤其是氯离子面心立方结构跟钠离子的面心立方它构在一起位移了二分之一的这个晶格常数，这样子就组成了这个氯化钠的这样一个结构。 那么它这个结构因子怎么计算？我们把这个钠跟氯的分开算，我们把这个钠的结构因子放在前面，这个是它，上面这个就是跟刚才零面心一样算。那么当然我们这个具体坐标跟刚才这个坐标有所不一样，那么我们就是可以写的仔细一点。那么还有关的同类项我们还是可以把它写得比较清楚，钠的结构因子外面这个框框里面是1+e的iπ（h+k），这个地方是k+l，这个地方是l+h。那么显然也就是说这个地方在这个小数，这个小数，然后它这个e加强了，对不对？这样的话就是说概念就会更清楚一点就是跟刚才那个算法可以类似，类似这样的算法。那么就是说把这个坐标要带进去，带进去我们可以进一步计算，自己可以试试看，我把这里的结果也列给大家。 那么最后我们当然得到这样的结果，那么显然也就是说混起来的这个子数也就是像这种情况，那么h、k、I是奇数、奇数、偶数，这个就是没有以后它这个一个…也是个，这个情况I是0。那么在这样一个是偶数，这个是奇数、偶数、偶数，最后也是0。所以它这个混起来这种子数，比如说像这个是100，由此奇数00是偶数，这个211中2是偶数，11是奇数，这样混起来，不是全部奇全部偶，那么这样的不会出现，为什么？最后经过结构因子计算，它的F=0，当然F平方等于0。这部分在X—射线里面非常重要，希望大家能够给予重视。