参数估计，就是对总体参数的一个估计。我们在日常生活当中我们根据经验，比如说这个人穿的什么衣服，言谈举止如何。我们就能大致判断出他的身份。 比如说这个人满身都是泥，都是灰尘，一般都是在一个环境比较恶劣，或者体力劳动者。这个人比较粗俗，那他肯定没有受过很好的教育。我们也可以根据他的脸色和心情猜测他的身体状况，脸色非常难看，或者心情不好，或者生病了。 我们统计当中估计也是这样的，当然是通过数据估计出来的，更加科学。因此参数估计的基本过程，就是通过样本获取一些基本的统计量，然后通过一些样本的统计量与总体参数之间的桥梁，我们前面所学的抽样分布，来估计出总体的参数。 比如说我们某一个地区婴儿的体重服从一个正态分布，我想估计一下这个地区的婴儿平均体重和方差标准差，我就可以抽样，随机抽出一百个婴儿，得到相对应的数据，我们根据这一百个婴儿的数据，我们利用相应的抽样分布，我们可以估计出它的均值和方差，和标准差，这个具体细节我们到后面来讲。 参数估计我们分为点估计，区间估计两种。点估计就是用样本的统计量来估计总体参数的一个定值。区间估计就是用样本统计量的分布，来估计总体参数的一个随机区间。 你比如说两个篮球队或者足球队进行对抗赛，之前都要估计对方的平均身高，如果估计出来他的身高是一米六八，这是点估计。如果估计出来身高是一米五七到一米八四之间，这是区间估计。当然这么矮的不可能在打篮球了，打篮球不太合适。 我们现在想一下，如果我们估计总体参数，这个估计量应该由哪些作为总体参数比较合适？ 换句话说，我们用一个什么样的估计量才算一个好的估计量，好的估计量的标准是什么？就跟我们择偶的标准是一样的，有几个标准，我们统计量的标准也是有几个好的标准，主要有无偏性、有效性和一致性。所谓无偏性，就是指估计量的抽样分布的数学期望等于估计的总体参数，你在一次抽样过程当中，可能和总体参数均值不一样，那么如果我抽样的次数足够多，它的期望值应该等于总体参数。如果不一样的话，就是有问题的。 比如说我们看打枪射击比赛，还有射箭，你一次没有打到靶心，可以理解，两次，你总体上应该在这个靶心周围，你不能打到这个靶子上，你打到别人的靶子上，这里是偏了，你肯定是不能容忍的。 如果满足了无偏性，大家都是无偏的，哪一个更好？我们就要保住有效性，所谓的有效性就是说，当两个都是无偏估计量的时候，应该选更小标准差的估计量，就是说你的标准差越小，你波动的范围越窄，越集中，越有效。 第三个标准叫做一致性。随着样本容量的增大，样本估计值会越来越接近于总体的参数。当然有些人说，这肯定是这样的，实际上有些规章并不满足这个情况，比如说我们前面讲的盖洛普公司用两千份样本容量进行估计，而另外一个杂志社用了一千万份估计，这个大量容量未必能够接近于总体的真实情况，小的容量却接近准确。 因此只有满足一致性的情况下，样本容量越大的时候，接近总体参数的情况下，这个估计量才算比较好的估计量。 所以我们在选用估计量的时候应该满足这三条性质。无偏性，有效性和一致性。我们用点估计来估计的时候，虽然能够直观的估计它的估计值，但是没有给出估计量的有效程度，我们刚说了，一个好的估计量应该满足三个性质，无偏性、有效性和一致性。那么作为点估计值来说，直接估计总体的参数，给出一个具体的值，比较直观，比较简单，但是有一个弱点，没有给出估计值接近总体参数的一个可靠的程度，你到底准确不准确，准确性有多大，不知道。你比如说我估计这个人的年龄是二十五岁，那么这二十五岁到底可靠性多大？不清楚。所以我们需要借助区间估计，就是说在点估计的基础上，给出总体参数的一个区间范围，这个区间是由样本统计量加减一个抽样误差得到，那么这个抽样误差实际上给出了一个接近于总体参数的一个度量，区间估计我们置信上限，置信下限，它的点估计我们做中间值。

区间估计实际上要包含两个部分，一个是区间的范围，另外一个就是总体的参数落入这个区间的一个可能的概率。就是说区间估计既说清楚了估计结果的一个准确程度，就是它的宽窄。同时又给出了估计结果的一个可靠程度，你有多大的可靠或者相信程度去相信它。 我们在区间估计中一个比较准确的表达，如果是总体均值的区间估计，就是确定总体均值以特定的概率落入区间的一个数值的界限。这个数值界限叫置信界限，界限的上下线之间的区间，我们叫做置信区间，置信区间估计的一般表达式P(θL<θ<θu)=1-a。什么意思呢？就是说这个区间θL到θu包括均值，总体均值θ的概率是1-a。 如果它是符合正态分布，我们可以把它正态分布的正态图可以画出来。中间的1-a，我们就是包含总体均值概率，两端没有包含总体均值的概率，包含总体均值与没有包含总体均值的界限就是临界值。 对于一个样本容量来说，由于样本的随机性，置信区间也是随机的，置信度1-a给出一个估计的把握，可靠程度，是参数估计的可靠概率，α是它估计不准的概率。 比如说我们α取0.05，在重复抽样的情况下，如果取一百个抽样，那么一百区间当中有九十五个区间包含了总体的均值，在这里面有一个概念是置信度，也是叫置信水平，或者叫做概率保证程度，什么意思？就是说我构造了很多的置信区间，它在这置信区间当中包含总体参数的次数所占的比重就叫做置信水平。刚才说了抽了一百次，有九十五次，1-a次，我们包含了总体概率，这1-a就是置信水平。α是总体参数没有在区间的一个比重，一般的置信水平我们都是人为规定的，当然有一个经验值，一般是99%，95%和90%。 在一次抽样过程当中，我们日常生活中往往是用点估计加区间估计得到的。如果描述你这个人体重是76.35公斤，这就是说点估计，当然一般人不会这么说，你可能是七八十公斤，这是一个区间估计了。 但是这种没有给出你的相信概率，所以是不完整的。比如说一个电视收视率，支持率，公众调查的结果收视率是90%，误差是3%，置信度95%，这种结果就相对来说比较可靠一些。 我们举一个例子，这个例子当中有两个相反的观点，比如说有一个调查有一万人，调查结果有同一种观点的人有70%，可以算出来，同一这种观点的95%的置信区间。 另外一个声称有70%人反对，也可以算出一个置信区间，这两种结果你到底相信哪一个？或者哪一个说的更准确一些？我们会发现，这两种截然相反的观点，关键在于什么地方？第一个调查了有一万人，而第二种结果只调查了五十人，第一种结果置信度是95%，而第二种结果的置信度只有11%，当然第二种是不可靠的。我们应该采用第一种方式。 所以在一般的媒体报道过程当中，如果只给出百分比或者给出区间，而没有给出置信度，是一种不科学，甚至说是一种不负责的表现，如果置信度太低，就有误导消费者的嫌疑。

我们现在具体来看一下置信区间的构成，我们根据前面所学的结论，如果一个总体服从正态分布，或者无论服从什么分布，只要大样本的情况下，那么样本均值也服从正态分布，均值的期望是总体的期望，它的方差是总体方差的N分之一，我们把它变成一个标准化，变成Z统计量，这个Z统计量，这个正态分布，我们可以画出它的图形。 其中中间的1-a的概率实际上就是中间的面积，就是这个区间包含总体均值的一个概率，两侧各是二分之α，总共加起来是α。是没有包含总体的均值的概率，那么包含总体均值的区间和没有包含总体均值的区间的界点叫做临界值，我们根据前面学的区间估计的一般表达形式，(θL<θ<θu)置信上限的概率是1-a。我们把θ换成具体的值，就是Z值，就是标准化的过程，X均值减去总体均值，除上X均值标准差，这个具体的Z，大于负的Z二分之α，小于正的Z二分之α，就是置信下限，置信下限，它发展的概率是1-α。如果我们在这个公式基础上，我们把总体的均值解出来，就是把样本均值的标准差，乘到等式的两边，因为是正号不改变符号。然后我们把总体的均值表求解出来，就得到总体均值是大于X的均值减去Z二分之α，乘上总体均值，样本均值标准差，小于X均值，加上Z二分之α，乘上样本均值的标准差的概率是1-α，这样我们得到了结论。在1-α的置信水平下，那么它的置信区间就是X均值减去Z二分之α，乘以样本均值标准差，加上到X均值加上Z二分之α样本均值标准差。 当然我们也可以写成正负号的形式，就是X均值正负Z二分之α，样本均值标准差。 在这个过程当中，置信水平就是1-α，置信区间就是X均值正负Z二分之α，样本均值标准差。 其中正负号后面那个部分是它的极限误差或者叫允许误差。它的极限误差等于Z二分之α乘以样本均值标准差，根据前面学的，它又是总体方差标准差除根号N，它也叫做抽样的平均误差。 我们如果把置信区间，置信度画出来，我们发现95%更宽，99%更宽一些，这说明什么意思？置信度越大，置信区间越长。 比如说我想估计一个人的年龄，比如说这个年轻人我估计他的置信区间是23岁到25岁。那么他置信度可能不高，我如果估计你的年龄是零岁到两百岁，置信度就是百分之百了。在其他权限不变的情况下，置信度越大，置信区间就会变长。 我们知道置信度越大，置信区间越长，我们根据前面所学的这些内容，我们可以总结出区间估计的步骤。 首先我们先计算样本容量，然后确定样本的抽样分布，然后再确定临界值，然后再确定置信区间，大致是这样一个程序。 在给定概率保障程度情况下，区间估计的一般步骤是怎么样？第一步首先我们确定置信度，这个置信度是人为给定的，你这个事情如果要求很严格，我们给的置信度高一些，如果事情不严格或者说你觉得可以置信度给低一点，这是根据具体的事情人为给定的。 第二步，确定临界值，你有了抽样分布，我们知道分布的形式，然后我们根据1-α下的置信的临界值我们可以查出来。 第三步，我们算样本统计量。 第四步，根据我们刚才的公式可以算出置信区间。 比如举这样一个例子，五百三十二名商业周刊的阅读者，想了解一下每周上网的时间，平均时间6.7，与总体标准差是8.5小时，问该刊阅读者每周花在英特网的时间，95%的置信区间是多少？这个时候我们五百三十二是样本容量N，8.5小时是总体标准差，6.7小时是样本标准差，95%的临界值，我们查Z值是1.96，这样在95%的置信区间是1-α的执行区间是X均值正负Z二分之α，总体标准法除根号N，得出最后的置信区间就是6.21小时到7.19小时，很容易算出来了。 我们算区间估计的时候实际上要满足三个要素，一个是估计值，一个是极限误差，一个是概率保障程度或者叫做置信度，这样我们抽样范围决定了估计的总结程度，抽样误差，就是说你的抽样误差区间越窄越准确，你的概率保证程度，或者叫做置信度保证了你的抽样的可靠性。这当然又是一对矛盾，在可靠性和精确性之间要求得一个统一，因为如果在其他条件不变的情况下，你要提高精度，必须增加样本容量，增加样本容量，就要增加费用，而在现实情况下很多情况下经费是有约束的，因此不可能无限制的增加样本容量，所以我们一般情况下就是要在抽样的准确程度和可靠程度之间求得一个平衡。 今天这一节我们主要讲的是样本的区间估计，参数估计，参数估计当中，我们重点介绍了一个点估计和区间估计值，点估计值我们实际上有三个标准，无偏性、有效性和一致性，区间估计我们重点强调的是你必须首先要搞清楚，你这个问题所允许的可靠性的范围，1-α首先定出来，你根据现有的统计量，你是样本均值，还是比例，还是方差，对应的相应的抽样分布，然后我们就是经过相应的推导可以算出相应的置信区间，对