现在我们进入到推断统计学的范畴，也就是说我们需要用样本去推断总体。但是有的同学会问了，我用样本为什么能推断总体呢，这需要解决一个理论问题，就是需要知道抽样分布。那么什么叫抽样分布呢，抽样分布实际上是建立样本到总体的一个理论上的桥梁，它的准确定义是这样的，是从一个总体当中随机抽取容量相同的样本，然后用这些样本计算出某些统计量的取值，根据这些统计量所有可能取值的概率分布，我们就叫它的统计量的抽样分布。这概念比较抽象，我们举一个例子，你比如说一个老师在上课之前，他需要了解上节课学生掌握的知识的程度如何，需要课前提问，那么课前提问的时候，他不可能把所有的学生都提问一遍，如果这样的话一节课全部都用来提问，还不一定够。所以对于一个100人的课堂，那么他可能抽10个人或者5恩个人。那么我如果这个10个人和5个人作为样本，他的一种回答的状况，如果能够摸清楚它的分布，我就能够推断出总体的分布状况。那么讲回答状况还是比较抽象，那么你要比方平均身高的话，更容易理解一些，100个人当中我抽10个人，他的平均身高，那么这10个人的平均身高，可能这10个人都是抽的是高同学的，也可能都是抽出来矮的同学，但是大多数情况下可能是高矮都有。因此我们需要算出来，这个被抽样这些同学平均身高的一个概率分布，这个就叫做抽样分布，如果它的规律我们比较清楚的话，我们就可以用来推断总体。 那么我们研究抽样分布的时候，实际上是具体的根据统计量来算的，一般是我们研究样本均值的抽样分布，样本比例的抽样分布，样本方差的抽样分布。那么样本均值的抽样分布，也就是说我们需要从容量相同的所有可能样本当中，算样本均值的概率分布。比如说我们从4个总体当中抽取2个元素，这4个总体分别取值是1、2、3、4，那么它的均值，它总体就均匀分布，它的均值是2.5，方差是1.25。那么我们如果从4个当中抽2个，如果是重复抽样的话，它的可能写，所有可能抽样的种类就是4的平方16个，我们把这16种结果，把它的样本均值都算出来，我们发现，把它画成直方图，发现它是一个正态分布，而且这些样本均值的期望和总体的均值都是一样的2.5，而样本的方差算出来是0.625，而总体方差是1.25，不一样，有什么关系呢，细心的同学就会发现，它刚好是总体方差的1/N。 这是一个例子，如果我们去做实验，比如说我们可以拿出硬币1分的、2分的、5分的、1毛钱，那么你可以对它进行随机抽样，你可以做大量的实践，我们都会发现有这样一个规律，就是样本均值的期望，等于总体的均值，而样本均值的方差却等于总体方差的1/N。当然这个结论，除了从现实当中进行总结之外，统计学家也有过严格的数学证明。因此给出了我们的第一个定理，说若总体服从率正态分布，那么样本均值它也服从正态分布，它的均值是总体的期望，它的方差是总体方差的1/N，那么这个正态分布，我们做一个标准化，就样本均值减去总体均值再除上样本均值的标准差，就会服从于标准正态分布。

那么这是指的正态分布，那么在现实生活当中总体的分布往往是不知道的，人们经过大量的研究发现，不管你这个总体服从于何种分布，无论是均匀分布也好，M型分布也好，或者是其他分布也好。如果N足够大，大到多少，大到30，这个时候人们总结出了中心极限定理，是这样说的，就是说无论总体服从何种分布，只要均值和方差存在，N充分大，那么样本的均值，它也服从正态分布，它的均值的期望等于总体的均值，样本的方差等于总体方差的1/N，同样我们也能把它进行标准化。这个结论和定理一的意义，基本上相同，只不过前提条件，定理一是总体服从正态分布，而这个条件总体不用服从正态分布，只要N足够大就可以了，结果是一样的。那么我们利用这个呢，我们就可以去做一些实际项的研究，比如说一个厂商生产电池，它的电池的平均寿命是54个月，标准差是6个月，那么某消费团体为了检验这种说法是否正确，购买了50个这种电池进行实验，那么可以问一下它的抽样分布，以及寿命不超过52个月的概率是多大。那么我们可以仿造前面所学的知道，它的均值就是总体的均值，方差就是它的1/N，那么算出来小于52个月的概率是百分之9.4，如果在一次抽样当中，它发生的概率很小，而且竟然发生了，那么这种推断，这个结论我们就值得商榷、值得怀疑。所以用这种方式，我们也是为消费者维持自己权益的一种非常好的一种方式。 那我们还举了一些实际的例子，你比如说一个电梯最大承受力是1000千克，也就是1吨，最多可能乘13人，平均人的体重是60公斤，标准差14公斤，且服从正态分布，问电梯发生的概率多大，我们知道日常生活中电梯发生概率是不大的，但是也有发生概率的时候，也有媒体报道，在一些商场或者是居民楼。那我们经过相应的算，我们利用前面我们学的抽样分布的知识，我们可以算出电梯发生的概率是百万分之7，也就是说你坐100万次，会出现7次的失误，当然这概率非常小。那么刚才我们得到的结论，它是有适应条件的，比如说总统服从正态分布，而且总体的方差个均值是已知的情况下。但是还有一种情况，如果总体的方差未知，那它的抽样分布又是怎么样一个形式呢，当总体的方差未知的时候，如果样本的容量很大，比如说大于30，我们就可以用样本方差来替代总体方差，这样的话样本均值仍然服从于正态分布，它的均值是总体的均值，它的方差是样本方差乘上N，然后我们可以做一个标准化，做成Z分布。 那么这是在N比较大的时候，因为样本方差和总体方差的分母一个是N减1，一个是N在大于30的情况下，它的差异是不大的。如果样本方差比较小，那怎么办呢，我们能不能直接用样本方差来替代它呢，如果我们去替代的话，我们会发现由于样本方差和总体方差，一个是N，一个是N减1，那么它的差异就比较大了比如说9，N是取10的话，一个是1/9，一个是1/10，差异就比较大。这个时候呢，它的分布就不再是Z分布，就是标准再分布，而变成了T分布，这个T分布它和正态分布是比较相似的，那么我们现在总结出第三个定理，就是说如果总体方差未知，它服从正态分布的情况下，在大样本的情况下，它是Z分布，就是标准正态分布，如果小样本的时候是T分布，它的自由度是N减1。T分布我们简要介绍一下，它主要是英国统计学家威廉发明的，那么它这个主要是小样本分布，它的形状和正态分布是非常接近的，它比正态分布稍微矮一些，两端稍微胖一些。T分布它的性质，而且在N取无穷大的时候，大值于用正态分布。

前面我们介绍的是关于样本均值的抽样分布，那么如果是比例，我们要研究样本的比例，它的抽样分布是怎么样呢。统计学家经过研究发现，当N大于30的时候，NP大于5的时候，因为总体的方差它是P乘1减P，所以它的服从的分布和均值是类似的，仍然是Z分布，不过它的方差是N分之P乘以1减P，就是总体方差的1/N，也是一样的。那么如果是研究样本的方差，它的抽样分布是怎么样的，统计学家经过证明发现，如果X1到XN来自于正态分布，那么它的样本方差，它的抽样分布，我们知道样本方差如果直接进行研究的话，统计学家发现它的分布不是具有独立的分布规律，但是用样本方差乘上N减1再除以总体方差，实际上对它做了一个标准化的过程，右偏分布，那么它满足的条件也就是说，当N很大的时候，它也接近于正态分布，因为它也是标准正态分布得出来的。那么以上我们讲的是单总体的样本的抽样分布，那么实际上双总体，我们关于一些样本均值差、比例之差以及方差之比的抽样分布，我们会发现，样本均值差的抽样分布，如果两个总体都服从正态分布，那么样本均值的抽样分布，它的期望，样本均值的差的期望等于总体均值差，而方差是和的关系。这一点我们可以用一个海浪干涉的例子来比喻，比如说两个海浪相互叠加，那么它最高的波峰是两个波峰的叠加，波谷也是两个波谷的叠加，那么这两个波峰和波谷实际上就是可以我们把它理解成标准差或者方差。所以两个总体的方差，是和的关系，而不是差的关系。 同样，样本比例的抽样分布，也是满足于正态分布，比例之差是它的期望是总体的比例之差，那么它的方差也是两个方差之和，然后进行标准化，也是服从Z分布。而两个总体方差比的抽样分布，统计学家经过研究，第一个样本方差除上总体方差，除上第二个样本方差比上总体方差，得到一个新统计量是X分布。F分布它是两个…分布的比值，那么它的形状也是一个右偏分布。在N取无穷的时候，它也接近于正态分布，而且这个F分布在区间估计、假设检验、方差分析、回归分析等领域，有着广泛的应用。那么今天我们主要讲的是抽样分布，主要是考察了，就是说从样本去推断总体当中，样本统计量的一个理论上的概率分布，它建立出了样本与总体的一个理论桥梁，有了抽样分布，我们才进一步从科学的角度来说，能够很科学的去推断总体的一般特征。那么这一讲，到此结束。