主成分分析，它属于统计学当中多元统计的一个分支，它的作用是非常重要的，我们讲一个实际的例子。 比如说一个年轻的女性去买衣服，她购买衣服的时候会考虑很多的因素，一个可能是要款式，时髦不时髦，另外一个可能是价格，划算不划算，还有一个就是这个衣服对她的匹配，合适不合适，当然还有其他的一些指标。 在这些指标过程当中，这些指标对她的购买都是产生了同等的重要，还是说有些因素比较重要，有些因素不重要。我们需要进行分析，多种因素对她产生的影响。 还有对于企业经济效益的评价，对于大学的排名等等，都在多指标的情况下对它进行评价的一个过程。 这些指标评价过程当中，是独立起作用，还是相互影响？我们在日常生活中发现这样一个有趣的例子。比如说一个人做了某件事，获了一个奖，然后在下一个季度的时候他利用这一个奖还可以获得更大的奖，这样的话，他获得的奖就越来越多，有点像马太效应。这些获奖之间它又带有很大的相关性，换句话说，它的指标之间信息带有很大的重合性。我们还有很多的情况。 比如说，我们进行高考，高考我们一般按总分来算，但事实上数学、英语，包括语文，数理化之间，实际上有一定的关联性，我们在日常生活中评价的时候仅仅把这些分数进行简单的加组，但是从原理上来讲，其实这些分数之间带有一定的相关性，换句话说他们信息之间带有一定的重叠性。有些人这门科考好了，另外一科也考的不差，所以用这个带有重合性的信息来衡量一个人的成绩，实际上并不完全客观。 我们主成分分析，实际上是干什么用的？就是把各变量之间相互关联的重复关系进行简单化分析的过程。 我们在经济社会当中，一个很复杂的问题，考虑了很多指标，它从不同的方面反映了我们研究问题的特征，但是在一定程度上，这些信息是存在一定的重叠性，具有一定的相关性。我们任务就是把这些重叠的信息给它筛选掉，留下最本质的信息。换句话说，我们需要对这些多元的变量的信息进行简化，从高维的变量进行降位处理，使得在低维空间，它的辨识要比高维空间辨识的更加清晰，这是我们统计学多元统计当中的主成分分析所要解决的问题。 主成分分析的作用是在力求信息损失最小的原则下，对高维信息进行降位的过程，使得用少数的几个信息组合，来代替原有的信息。而且它能把它的主要信息都包含进去，这种情况下的综合指数我们称之为主成分。 比如说有一个实例，美国的一个统计学家斯通，在1947年关于国民经济研究过程当中，他曾利用了美国1929年到1938年的各年数据，得到的17个反映国民收入与支出的重要变量。比如说雇主的补贴，消费资料和生产资料，从公共支出进库存，股息、利息、外贸平衡等。 他经过主成分分析后，这么多指标，既然可以用97.4%的精度，用三个新变量代替了原来十七个变量。这三个变量根据经济学的知识，这斯通命名了新的名字叫总收入F1，总收入变化率F2，经济发展或者说衰退的趋势是F3。这三个变量而且都是能够直接测量的，斯通这个统计学家将他得到的主成分与实际测到的总收入，以及总收入变化率以及时间因素做了相关的分析，得到相应的表格。发现他们的相关系数是非常高的。 这样的情况下，我们现在对主成分数学模型和几何我们可以做相应的解释。我们可以假设，在我们研究的实际问题当中，有P个指标，这P个指标我们看作是P个随意变量，记为X1到XP，主成分分析的作用就是把P个指标的问题转变为P个指标的线性组合，而这些新指标F1到FK，K的数值一定远远比P的数值要小，而且保留原来的主要信息。而且新的指标之间是相互独立的，这样一个原则。 这种由多个指标降为少数几个综合指标的过程，在数学上就叫做降维，主成分的做法就是寻找原来指标的线性组合Fi。比如说Fi等于（06：53 公式）。 在主成分分析过程当中，要满足一些条件，统计学家经过研究发现，每个主成分的系数的平方和应该为1，就是（07：30 公式）。 第二个条件，主成分之间要相互独立，既没有相互的重叠。 第三，主成分的方差要依次递减。重要性依次递减。就是F的方差一要大于等于F2的方差，大于等于F3的，一直大于FP的方差。 如果我们用一个图形来画主成分的话，我们在一个轴当中，它的原来的坐标是X1，X2，我们做完图形之后，我们就相当于把这个坐标进行了旋转，做成一个椭圆形状，那个椭圆的长轴就是F1主成分，它的短轴就是次要成分，相当于我们把二维的事情降成一维，而且能抓住它的本质。 在这个二维空间当中，我们如果原来的坐标X1和X2都有很大的离散性。而在新的坐标当中，沿着F1的离散性最大，沿着F2的离散性最小。这样的话F1就把X1和X2基本的信息都含进来了。 将X1和X2变成F1和F2过程当中，实

我们进行主成分分析的目的之一，就是希望尽可能的少的主成分，F1到FK，来替代原来多个P个指标，到底选多个个主成分呢？根据经验，主成分个数取决于能够反映原来变量85%以上信息为依据，换句话说，我新的少数的这些主成分所含有的信息量，应该至少占到原来信息量的85%。这个时候我这个主成分的个数就够用了，一般经验两到三个。 原始的变量与主成分之间的相关系数。原始变量我们还考虑通过它的贡献率和累计贡献率，同时度量了从原始变量当中提取了多少信息到主成分当中。换句话说，原始信息当中有多少信息被主成分所提取了。 我们需要关注一下，主成分分析的步骤。首先我们有一种是基于协方差的分析，在实际文化当中，X的协方差是未知的，但是样本我们方差是可以度量出来的，所以第一步我们可以由X的协方差求出其特征根，然后解其特征方程，得到其特征根。 第二步我们可以分别求出对应的特征向量。 第三步，我们计算相应的累计贡献率，来给出恰当的主成分个数。 第四步，我们可以计算所选出的K个主成分的得分，将原始数据进行中心化，代入K个主成分表达式，分别计算出各个单位K个主成分的得分，并按得分的大小进行排序。 我们通过一个实例来看一下主成分的一个应用。 第三步，我们计算相应的累计贡献率，来给出恰当的主成分个数。 第四步，我们可以计算所选出的K个主成分的得分，将原始数据进行中心化，代入K个主成分表达式，分别计算出各个单位K个主成分的得分，并按得分的大小进行排序。 我们通过一个实例来看一下主成分的一个应用。

我们知道营收状况是企业应对外销售产品、材料、提供劳务，以及其他原因，向赊销、赊购单位或者接受劳务单位提取的款项，包括应收、应销帐款，其他的应收款，应收票据等。 由于扩大销售竞争的需要，企业不得不以赊销等其他优惠方式去招揽顾客，由于销售和收款时间差，于是产生了一个应收款项。 对于应收款项赊销效果的好坏，不仅依赖于企业的金融政策，而且依赖于顾客的信誉程度。由此评价顾客的信用程度的等级，了解顾客的综合信用程度，做到知己知彼百战不殆，给加强企业的应收帐款管理有很大的帮助。 企业为了了解客户的信任程度，可以采用西方银行估计信用评估的方法，叫5C法。用5C法来说明他违约的可能性。这5C分别是品格，指顾客的信誉，偿还义务的可能性，可以利用过去付款记录来衡量。 第二是能力，顾客的偿还能力即流动资产的数量和质量，以及流动负债的比率。顾客的流动资产越多，其转化为现金支付的能力越强，同时还应该知道，注意到顾客流动资产的质量，是否会出现通货过多，质量下降的问题。影响其变现能力和支付能力。 第三个因素是资本。指顾客的财务实力和财务状况，表明顾客可能偿还债务的背景。 第四个是附带的担保品，借款人容易出售的资产作为抵押。 第五个是环境条件，指企业的外部因素，企业本身所能控制和操作的因素等等。 首先我们可以抽取十家具有可比性的同类企业作为样本，然后我们请八位专家对是十个企业，五个指标进行打分，然后我们可以算出相应的平均分出来，我们根据这五个指标，这五个指标可能是有相关性的，我们需要把多余的重叠的信息过滤掉，我们可以做主成分分析，发现到了第三主成分的时候，它的累计贡献率达到了94%以上，我们用的三个主成分就能替代或者代表原来的五个指标。这就是我们说的主成分在现实生活当中一些一般应用。 我们还可以通过一些基本的原理来了解一下主成分的应用过程。刚才我们讲了主成分应用过程，第一个就是主成分能够降低研究的数据维数，用M的空间代表P，当然这个M比P小很多。当然有的时候只有一个主成分的时候，这个时候我们得到的情况就更简单，我们就把所有的X可以删掉。 第二个，多维数据当中的一种图形表示方法，我们知道多为数据画不出数据，三维以上很难画出数据，很难想象。但是如果我们把多维统计的问题，十几个变量甚至几十个变量用三个主成分表现出来，我们能够看出来这些主要成分的分析状况，就能够直观的看出它的主成分的分量。 第三个，主成分的作用。主成分分析可以筛选回归到变量，回归变量的选择，有实际应用，那么我们在进行回归变量的时候，我们为了易于做结构分析，控制和预报，我们往往从原始变量的子集当中选出最佳变量，构成最佳变量的组合，主成分往往就是一个筛选变量的好的方法，我们可以得到一个比较好的组合。 这一节我们主要是介绍了主成分的一般原理、概念，它的主要作用就是将众多的有可能相关的指标，把它的多余的部分剔除掉，从大的维度降成低的维度，抓住事物本身的主要特征，从而简化问题的研究，达到抓住事物本质的目的。 主成分这一章我们讲解到此为止。