刘斌：下面我讲第二个问题，这个第二个问题呢，题目是重试排队中，这个尾分布的渐进性。这里我们所讲的呢，这个重试排队是一种带有具有不耐烦顾客的重试排队系统。 我要解释一下，我们翻译出来呢，就是伪概率渐进性。这个伪概率渐进性是这样的，就是说顾客从系统中间，也就是说在重试系统中间，重试排队的顾客，随着重试排队顾客的数目的增加，这个概率分布，这个概率实际上是去趋近于零的，但是是以什么样的行为趋近于零，是我们所关心的，是我们感兴趣的。 我们考虑的是M/M/C retrial，那么这里的假设呢，是原始顾客到达，是根据这个剖分过程到达，他的到达率是纳姆达。在orbit里面的重试顾客呢，他们的重试行为是相互独立的，他们的重试力呢，我们用贝塔表示，所以是到达的意思，是重试的意思。那服务时间是指数分布，指数分布，它的这个力呢，是miu。 因为我们考虑的是不耐烦顾客的，所以我们要定义一下不耐烦顾客的行为。包括两部分，如果这个到达的原始顾客，发现所有的服务台属于繁忙中，他可以做两个选择，一个是变成Retrial customers，也就是变成重试的顾客，或者就直接离开系统。这里我们给出一个P，这个P是他进入orbit变成重试顾客的概率。那同时呢，他也可以离开系统，这个概率是1-P，也就是说，他会以1-P的概率离开系统。把1-P呢，我们以后就用P-8来表示。第二个呢，就是说如果是重试顾客，当重试顾客在重试时，发现所有的服务台繁忙，那么他同样有可能做出两个选择，一个就是离开了，不再重试了。还有一个就是说，他重新回到orbit，他会在将来的某个时段继续重试。 所以，我们假设这个q表示他回到orbit里面的概率，然后1-q或者是q8表示他离开系统，永远离开系统的概率。所以说呢，对于这个原始顾客和重试顾客，他回到orbit里面的概率是不同的，可以是不同的，也就是说，我们用p表示原始顾客，当他不能得到服务的时候，回到orbit里面成为重试顾客的概率。而q呢表示原来就是重试顾客，当他们不能得到服务的时候，在重试的时候不能得到服务，他回到orbit里面，准备继续重试的概念。所以，这两个呢，我们这里就把它区别对待。 系统的描述，这样系统呢，同样它是用两个变量来描述。一个就是在orbit里面重试顾客的个数，还有一个就是繁忙服务台的个数，在时间t繁忙服务台的个数，这两个用变量表示。不过跟我前面的那个第一个问题，稍微有点不同，我把这两个变量写成下面的形式，我把它颠倒个个儿，那是因为我们所感兴趣的问题不同，所以我把它颠倒一个，我们写这个N，先写N，然后再写C。也就是说，第一个指标呢，表示在orbit里面有多少个顾客，第二个指标表示有多少个服务台是在忙，所以NK。 很显然，这个N可以渠道无穷，从所有的回复指数。K呢，因为我们考虑的是C个服务台系统，所以K取值是在0和C之间的个数。那么以后为了方便期间，我们把第一个指标N，我们讲称它为水平level，第二个指标K，我们把它称之为相位phase，所以说呢，这两个指标，第一个指标是level，K是相位。也是描述系统的状态了，特化系统的状态所用的这个随即过程。它的平稳分布，我们用这个πNK，原因是它的状态了，可以是NK，所以说πNK表示这个系统所在状态NK的概率，当系统处于平稳状态的时候。所以，这个πNK实际上是一个平稳分布。 先说说我们最终回到的主要结果，我们所感兴趣的呢，是这个πNK，这个系统的平稳分布。这个平稳分布的渐进行为，因为这个平稳分布，当NH相移无穷的时候，主要的系统能够趋于平稳了。当N趋向于无穷的时候，这个πK是趋向于零的。那么问题是，它在以什么样的形式趋向于零，是很快趋向于零，还是（什么）。到底以什么样的形式趋向于零，我们感兴趣的是这个。所以呢，我们叫做渐进行为，等会儿呢我会解释一下，为什么我们要感兴趣这个。为什么我们不能够直接求出这个πNK，，待会儿我会说这个问题。 所以说呢，要描述它是怎么样一个行为趋向于零，我们找出一个函数，新的函数，叫做hkn，因为这个πn比上hkn呢，我们会发现，我们要找到合适的hkn，使得这个πnk比上这个hkn，它的这个比值呢，是有界的。所以，这个我写的上界限，下界限，实际上它们的那个比值呢，实际上是在两个正数之间。这两个正数是与n没有关系的。如果说我们能够找到这个h，hkn，这就意味着我们知道了，这个πnk是怎样一个，以怎样一个方式趋近于零的。它实际上，比上这个hkn，实际上是落在两个正数之间的。那么，自然而然的话，对我们了解这个πnk是怎么去趋近于零的，是非常有帮助的。 谈一下这个文献，这个文献有两本专著了，Falin和Artalejo在1997年和2008年分别有两本专著。前一本

　现在我想说一下，为什么我们会研究渐进行为，其中的一个主要的原因是，对这个不耐烦顾客的重试排队系统，对单服务台的问题是有精确解的，也就是说M/M/1同时排队，去重试不耐烦顾客的系统，是有精确解的。但是，对多余两个或者两个以上的服务台的系统，这个精确解，这个显示解是没有的。正是因为显示解没有，所以寻求这种，是很重要的。所以，这个的寻求，有一种思路就是说，截取，把一个马斯链截取。那么你截取到底在哪里截取，到底我这样截取是否会导致系统的，你截取以后，成为一个有限状态马斯链，你可以简单的有限状态马斯链去获得它的解。但是，到底在哪里截取，你截取以后的系统跟原来的那个系统，它的那个，它的精度是误差有多少。 所以，要研究这一系列的问题，研究它的渐进性是很重要的。因为你知道它是以什么样的行为去趋近于零，你就知道它趋近于零的快慢，然后会帮助我们去选取在什么地方去，就是把这个马斯链解了，这是一个应用了。这就是说，为什么我们要研究渐进行为，因为对两个以上服务台的，具有不耐烦顾客的系统，是没有显示解的。 所以，渐进性解是我们的一个不错的选择。寻求稳态解的一个重要的方法，就是传统的方法，包括某函数法，包括直接解稳态方程系统的稳态方式，这个某函数法，就是说你从系统的方程出发，然后引入某函数，把系统的方程转变为是以某函数形式的方程，然后去求解，通过根的分析求解。或者呢，直接在稳态方程上做文章，去解这个稳态方程。 那么我们的方法跟传统的方法，不同之处我列在这里。实际上，我们这里所用的就是一个寻求举证层级形式的解。因为待会儿我们将会看到这个系统实际上是一个离生命过程，不仅是一个离生命过程，它实际上是一个水平相依的离生命过程，确切地说。同时呢，我们主要使用了技术，马科夫链的技术。这个（英文）翻译过来的意思就是说三节，马斯链的三节，也就是说，我们把马斯链的状态空间，把它变小，粗略地说，待会儿我们会细节描述一下这个问题，这个方法。 OK，这个N表示level，表示这个的重试顾客的次数。C表示繁忙服务台的个数。这个大小的N呢，它是我们称之为level，水平，这个C是相位。那么我们可以写出这个过程的无穷小生存源，这个实际上是以一个brock的形式写的。比如说这个第一行，这个B0，B0是一个子举证，第一行，B0A，这个B0实际上是一个子举证，这个B0对一个行，这个子举证对应的是这个水平0的。然后底下呢，这个C1这一行实际上对应着水平1的，也就是说，有一个重试顾客在系统里。第三行C2是有两个重试顾客在系统里。 那么，有重试顾客在系统，这个繁忙的服务台可以是0、1、2、3C，所以说，这就是为什么它是一个每一行这个地方，实际上是对应着一个快举证。很明显，这里有B0、B1、B2，他们是不同的，所以说这是一个水平相依的。如果说这个B都是相同的话，那就是水平，那就是通常意义上的生命过程，这里是水平相依的生命的过程。 那么有关这些快举证，它的表达式呢，我们可以从下面的数字中看出。这里的Bn，包括B0、B1等等，这个A是一个对，Bn实际上是一个三对，这个C0是一个两对。我想提醒注意的是，这个A举证是一个很悉数的举证。其实它整个这个举证，实际上只有右下角的原数是非零的，其他地方都是零。这个信息很重要，就是我们实际上是充分地利用了这个信息，在我们获得这个稳态分布的计算方法，充分的利用这个信息。所以，这个A举证只有最后右下角的那个原数非零。