刘斌：可以写成是这些显示，因为在前面我们讲了，这个2举证它是只有最后一行，它在最后一行的元素是非零的。所以，利用这个事实呢，我们可以把这个RnC给它写出来。这个Rn乘Cn写出来是这样一个举证。这个很好，因为我们知道，它是对着马科夫链的。所以说，它联系时间是马科夫链的。所以说，它的任何一个行和呢，都是等于零的。 现在呢，我们把这个R举证写出来了，把这个Rn、Cn写出来了。那么，考虑这个Q小于等于N-1的举证，最后一行，原数它们的和等于0这个事实呢，我们就会得到下面的引理。 这是我们得到的关于小2的第一个方程，正如我前面所说的，原先我们是想求πnk，那么，由于困难，我们利用这个Rn和π的关系，我们不去求πn，我们先求这个Rn，然后用这个关系呢，实际上Rn知道了，Rnk知道了，πnk也就知道了。所以说呢，那需要很多方程，这是第一套方程。当然这个方程对所有的n，从1、2一直到无穷都是成立的。所以，我们得到的，应该确切的说，第一组方程。 刚才呢，我们是把30到level不超过n-1这个上面。现在呢，我们继续，我们打算把它到leveln，也就是把它水平n。也就是说，我们考虑重试顾客数是n的情况，就是到某一个具体的水平上。那这个上，要从Q小于等于n开始。也就是我们取得L这个下标的（n），实际上是水平n的这个即可。这样的话，我们就把举证写出来了，就是说我们进一步可以由这个基础，我们用前面这个结果，可以把Qn这个举证写出来。 这个Qn举证写出来以后，我们会发现，它是这样的。它就是说，如果不考虑最后一行和最后一列的话，它实际上是个相对要求的。但是呢，它的最后一行和最后一列都不是零的。那么，这里的一些细节的东西是这样的，就是说，先讲它的最后一列吧，它的最后一列实际上是betan，betan实际上n乘cita，cita是重试率，这个表达式是有的。 然后再看最后一行，最后一行，这个α是一个新写的。这个α是个什么，α实际上是这个βn+1，这个αn+1，k，实际上βn+1乘上rn+1k。也就是说最后这一行的这个元素，实际上是与r有关。它是一个沉积的形式。 那么，现在我们用一下有关三次元的方程。大家知道，第一个定理呢，是用什么呢，大家知道，这个πn乘上Qn，它是等于0。这个很好理解，因为它满足那个方程，确切地说，本来这个πn，前面这个向量乘上它自己无穷的小分子元等于0，这个是可以，这是标准的结果。那么，为什么乘上这个30的Qn等于0，因为这个30的举证的平稳分布，跟原来这些π只差一个常数倍。你看一个常数乘上这个π，就是现在这个30的Qn的平稳分布。所以说，常数倍有一个非零常数，可以把它去掉。所以说，这个方程是成立的。 那么，从这个引理2出发，我们可以证明引理3。证明的过程呢，用到前面的那个结果，前面的定理1。前面的定理1是讲这个πn和R的关系，πn是一系列的东西乘上Rn的最后一行。所以，用这个关系呢，我们最后会得到从这个引理2出发，可以得到这个结果，不困难。现在就好了，引理3说，这些小2，这个向量乘上Qn，它是等于0的。而我们知道，这个Qn的本身又包括了前面一个照片上，包括了它的最后一行，又含有这个小的Rn。 我们把这个数字写出来，然后把这个方程，这个举证形式的方程分开写，把它写出来，我们就可以得到一组方程。那么在写这个之前，让我们看看一个特殊情况。看看一个特殊情况，到目前为止这个结果对不对。大家知道，我们前面说了，对两个或者两个以上服务台的是没有显示解的。但是对一个服务台的情况是有显示解的。 那我们看看我们这个所得到的结果，跟已有的显示解是不是一致的。我们考虑一个服务台，M/M/1的情况，一个服务台的情况。那么，从前面这个引理1、引理3，我们直接可以把这个Rn给解出来。实际上这个解的过程，也是等于把方程给写出来，然后把它给解出来。显示表达，因为只有一个服务台，所以这个c是等于1的。所以，只有rn0和rn1，它的显示表达。这样的话，有定理1呢，可以把这个πn整个就写出来。当然这里需要一些政治条件把这些定下来。很容易就检验了，这个结果跟Falin那部专著上的结果是完全一致的。 好，现在让我们回到，就是说一般的C，不是M1的这种情况。刚才我们得到的是一个方程，实际上我这里写的这个方程，这里这个中间有问题，实际上是rn1、rn2，rnc，它应该不是3，应该是一直到c。然后呢，把这些结果可以写出来，就是最后一个，下面这个方程的rn3，应该是rnc。所以，把这个方程整个写出来呢，就会是这个形式。 那么，这个形式呢，我想说一下的是什么呢？这个实际上，表面上是一个，实际上我想说的是，因为这个n可以是从0一直到无穷。所以说呢，这个是一个无穷多个未知数的非线性方程

下面就是从这一组方程中间出发，我们可以获得它的渐进。就是说，我们虽然不能得到rnk的显示表达，但是我们可以得到它的极限间接行为。OK，我们把它这个结果放在了一个推论里面。这个推论显示的是这样，因为我们删减了一些前面的定理，就是最后我把这个结果写在推论里面。这个推论里面是这样写的，关于这个rn，为了方便期间，我写成c-k，不管怎么说，c-k的话，k可以取0、1、2，一直到c是没有问题的。那么观察以后大家会发现，这个鉴定结果是这样。大写的O实际上大家可以把它想象成一个有限量乘上这么一个后面的这么一个东西，那么这里面呢，我们会发现什么呢，这个rn，我就不念这个c-k了，rn实际上趋向于的这个行为，跟1/n的k+1是一样的，也就是说nk+1的导数形式是一样的。所以说它的那个结，趋向于那个结的实际上跟这个n的k-1次方程之一是一样的。 OK，现在我们对这r呢，它的渐进性是有了，那么从r的渐进性呢，再用前面这个定理1，我们可以得到π。因为回忆前面的定理，2和πn它们有这么一个关系。这个关系呢，实际上是一些层级的形式。所以，从这个出发，从这个关系出发，那么我们可以发现呢，可以证明下面的定理2，这是我们的一个主要结果了。这个定理2是讲了，就是说对于这个排队系统，具有不耐烦顾客的排队系统，我们可以找到一个hkn，因为我们想描述这个π的趋向于0的行为，我们说它趋向于0的行为，基本上跟这个hkn是一样的。hkn是什么，hkn的表达是我们定理2的一个主要结果。 你看这个hkn，它实际上趋向于0的速度还是很快的。因为这里有一个n之1，这个不奇怪，实际上这是因为不耐烦的顾客，每次try了以后，他都可能有一定的概率，他要离开系统，因为如果还不成功的话，要离开系统。所以说呢，它的衰减速度，实际上从这个意义上，它是比指数衰减的速度还是快。 回到我们前面讲的我们的目标，我们的目标是要找到hk，使得这个πnk比上hkn落在两个正常数之间。那么，现在我们的目的达到了。那么，这个hnk表达数是给出了。那么，这样的话我们就知道它是怎么趋近于0的。这个结果，实际上为进一步做净值计算提供了理论的依据。因为我们知道它衰减的速度很快，所以我们可以放心大胆去这种截断，在某一点截断，把一个无限状态的问题截断以后，成为一个有限状态的。 最后想讲一下特殊情况，再回到特殊情况，就是说1的情况，M/M/1的情况。因为M/M/1的，它的表达式是有的所以，刚才我们说π/h是落在两正常数之间的。那么由于M/M/1系统呢，实际上是有精确表达的，不仅我们发现了hk是使用的，而且我们可以确定具体的这两个是什么，这里是两个表达式。C1、C2，这个结果是对M/M/1的情况。那么，里面的这个伽马实际上是嘎吗函数。所以说，对这种特殊的情况，实际上确切的表达式是有的。 一般的情况下，表达式到目前为止还是有些困难的，就是说到底哪个常数是什么。现在说主要的一步我们知道了，虽然说两个正常数跟N没有关系，但是要写出精确表达是非常复杂的。