刘斌：条件概率跟这个P有紧密地联系，所以我们写出这样一个表达式，就是说我们需要这个条件概率，K-N，它可以写成这样一个表达式，用转移概率来表示出来。有关这个Q，这个很重要，这个Q实际上是什么，看看这个Q的定义。它实际上呢，后面的这个C（Sk）=1表示前面的K是重试，发现系统是繁忙的，也就是都不成功。那么，这时候在DKs重试那个时刻，在orbit里面的重试顾客数，这么一个条件概率。 那这个条件概率呢，实际上如果K=1的时候呢，它是有表达式的。因为我们在前面已经说了，这个Na和C，它们的联合分布是知道的，在S0这一点呢，联合分布是知道的。联合分布是知道的，由此可以获得它的条件分布。所以说这个Q0是知道的，我现在不列这个下标了，只列上标，Q0是知道的，它这个确切表达数是再给出来的。但是Q1不知道，也就是上标是1我不知道，这是我们想进一步要做的。 那么，Qk，我们会发现Qk，通过它的定义，一步步你会发现，我们会发现它实际上跟这个Vk它们有很紧密的联系。也就是说，如果我做到了Vk或者Qk，我是能够获得的。 我们回头再看看这个，看看这个胶片，这一张照片上所说的，看看这个V和Q的关系。也就是说，如果我们知道了Qk-1，我们可以得到Vk。而且呢，Q0也是知道的，同时我们还知道，如果做到Vk，我们能得到Qk，这个就帮助了我们，我们可以这么想。Q0是知道的，从Q0知道以后，我们可以得到V1。因为前面这个表是可以看出来，你Q0知道，K-1知道了，K知道了，所以Q0知道了会得到V1。V1知道了，你可以得到Q1。Q1知道了，通过这个表达式，你又可以得到V2，V2知道了，你又可以得到Q2。 所以说，这么一个过程，实际上就是我们的算法的一个基本思想。我们从Q0出发，因为Q0有显示表达出一切都是知道的。所以Q0是有的，Q1有了V1就有了，V1有了，Q1就有了，Q1有了，V2就有了，V2有了，Q2就知道了。所以，这样一来，我们最终就可以把所有的VK都给求出来，V、K、J、N都求出来，而V、K本身和V、K、J、N，它们之间只是一个和的关系，所以呢我们把V、K求出来。 请注意，我们的所谓的条件概率，从事成功的条件概率的记号就是VK。所以，到目前为止，这个VK已经获得了。所以，VK这个算法1啊，提供了我们一个迭代，实际上是一个递推算法，一个迭代算法了，帮助我们去算VK的。这里我们有遗留的一个问题，当我们计算从QK-1到VK的时候，我们用到了转移概率小p，p（1，m），（j，n），那这个表达式还没有的，这是我们前面所说的，这个表达式实际上是要通过研究连续时间的马斯链的生态解来获得。 所以，下面我们就看看怎么去获得这个生态解。怎么获得这个P，OK，这个P实际上前面我们已经说了，它跟P有很紧密的联系，同样就是一个常数倍。所以，我们把注意力放在怎么去获得这个P，实际上是下来一个P的，带着下标的，Pt的一个变换。所以说呢，我们要获得这个拉布拉丝变换的表达式。连续时间，马斯过程，就很容易写。这是那个方程，跟我们这个系统的方程。 所以，我们写出这个方程以后，这个方程很标准，就是写方程的方法是很标准的。写出这个方程以后，我们对这个方程的两边关于时间T呢，求拉丝变换，拉布拉丝变换，当然我们就得到这么一个表。表面上看这个表是有点复杂，稍微整理一下子了，就会发现它不复杂。我们通过这样的形式来整理，我们第一个，我们想得到P*，那么我们定义一个F，P*是与F、M、N有关，我们定一个F。F，下表是m，n，然后把前面这个方程写成一个方程，这个方程呢，现在看起来就要比前面的表达是好看的多。但是呢，要求解这个，还不是那么容易的。 我们进一步化解，我们这样写，我们把方程的两边除上F（m，n），然后这个方程就变成这样一个形式，就是一个分字形。这个分子形，大家注意，上面的第一个数字，这个分母是Fm，n+1，除上Fm，n，而这个本身又可以用这个表达式本身去替换，你只要替换一个下标，把n换成n+1，所以说呢，这么一个思路，实际上可以把这个分数写成一个连分数。你看我们把这个减号，下面的减号写在分母上面，它实际上是一个简写的减号，就是一个分数，分母中间又是一个分数。那个分数的分母中间，又是一个分数，就这样，无穷的写上去，这是一个连分数的形式。 那可以证明，这个连分数是收敛的，对所有的都是收敛的，这个结果呢，就是我们的引领1的结果，证明就省了。那么，这样做收敛的，但是要求出我们前面的这个F（m，n），还得花点力气。

　那么，这样做收敛的，但是要求出我们前面的这个F（m，n），还得花点力气。那么，我们需要注意一些新的序列、数列，通过这个nn，这个就是我们的定义1了，通过小写的Nn、Bn，我们可以定理1个新的数列，大写的Bn，然后可以把这个写出来，把这个Fm，n写出来。 那B1的结果，实际上是给出了F（m、n）的表达式，F（m、n）和P*有很紧密的联系，因为我们定义了它们两个之间的关系，是有很明显的，明确的表达的。所以说，这样的话，实际上是P*知道。P*和原来那个P，就差一个常数倍，所以在这个意义上，虽然我们已经能够获得P，就是离散时间转移概率。 这个是定理2，定理2是从Fmn写出这个P*，这个算法2呢，就是根据我们前面所说的，如何从原始的nn、bn，一步步地去获得这个p*。现在我们已经有了P*，也就是我们已经有了P，那么算法2和算法1结合在一起，就可以计算这个条件成功的，同时成功的条件概率。 最后，我们讲一下有关这个，回到我们以前关心的问题，我们要关心的是，重试次数的概率分布。我们之所以研究前面的Vk，那是因为这个Vk和重试次数的概率分布有着非常紧密的联系。我现在用这个小写的rk表示重试成功发生在DK的概率。也就是说，前面的K-1是重试都不成功，而DK是成功的。所以，用这个记号改变小写的2。很显然了，这个小写的2实际上可以写成条件概率，也就是说，F0的时候服务太忙，F1的时候服务太忙，Fk-1的时候，服务台还是忙，但是Fk的时候服务台空闲了，也就是DK。所以说，它是一个条件概率。我们把这个条件概率呢，写成一种层级的形式，也就是S0之后忙，一直S0的忙，S1的时候的忙的条件概率，乘上F0、F1都忙，3的时候忙的条件概率。一步步这样写的话，实际上我们可以写成一个，把这个上面写成一个层级的形式。把这个层级的形式呢，用简单的符号表示，就是下面的结果。 所以这个rk，实际上可以写成一个层级的形式。你看这个rk和这个vk，他们的联系非常地紧密。如果你知道vk序列，那你这个r序列就知道了。r序列知道，实际上就是r的概率分布就知道了。所以说，这两个问题实际上是非常紧密的联系着。刚才我们说的呢，是单服务台系统，那么两服务台系统怎么样呢，这个方法对两服务台系统同样奏效。

关于两服务台系统，现在跟单服务台系统的不同之处就在于，重试的顾客，或者说原始的顾客到达的时候，如果说所有的服务台，也就是说如果两个服务台都很忙的时候，他会在迟一些时候重试，他就不能得到服务的。如果仅仅有一个服务台忙，还有一个服务台是空闲的话，他会立刻得到服务。所以说，在这个条件这个地方呢，在这个竖杠的后面，条件这个写的是2，不是1。 而这个概率部分呢，在Sk这一点呢，0状态和1状态都是成功的。所以，vk的表达式是不同的。那么，相应的还有一些改变，总而言之，这个技术途径上来说是可行的。不打算细的讲述这些连服务台的时候这些细的推导，基本上是延续了在单服务台同时排队的思想。

最后我想说一下，关于重试排队，这个重试成功条件概率的数值计算。这里有三个图，第一个图呢，我们假设这个系统的负载，也就是说到达力比上服务力是等于0.3，到达率比上服务力，我们用rho表示。也就是说，系统的负载数等于0.3的。那么第二张表，对应中的系推的负载数等于0.6的，也就是说rho是0.6。第三张表呢，这个rho是等于0.9的。 也就是说，第一个图呢，实际上它是相对清楚的。第二个呢，是中等。第三个呢，是比较重的负载，。重试成功的概率分布是一种下降的，而且随着这个负载的增加，我们比较这三个图你会发现，这个图越来越平。越来越平是什么意思呢，这个潜在的意思就是说，在获得成功的重试之前，所需要的重试次数是增加的。这个呢，跟我们的直观是一致的。因为你服务台越来越忙了，那你对于每一个重试的顾客来说，他需要更多的重试次数，在他获得重试成功之前。当然还有一些其他的观察，这个仅仅是一部分，我这里列了一部分。 总而言之，相比以前的那些工作，重试排队的，我们这里获得的是一个计算重试次数的概率分布的一个方法。