刘斌：关于水平相依的区别D的离生命过程，它的平稳分布呢，我们用π表示。这个π里面呢，因为有这个π0、π1、π2，每一个粗体的、黑体的π0都是一个向量。因为每个，比如说π1，它是对应着一个快，它是对应着有一个重试顾客的情况。有一个重试顾客那里面，包括了没有服务台繁忙，有一个服务台繁忙，有C个服务台繁忙。所以，它又是一个指向了。πn实际上是一个指向。那么有关水平相依的QBD呢，有它的平稳分布，稳态分布的表达式是有的。 这里我列出的来的，实际上πn=πoR1R2...Rn。这个R1、R2...Rn，实际上它的表达式是a乘上QA，这么一个句子，我待会儿要解释一下这个句子。那么我想提醒注意呢，前面这个A举证呢，只有最后右下角那个数是非0，待会儿我们用到。你想想，如果说用A举证乘上Q，最后的结果是什么样的，待会儿我会说下。你只有右下角的那个举证，那个元素是非0的话，这么一乘的话，实际上那个结果只有最后一行，也就是这个R这个举证，只有最后RL这个举证，只有最后一行是非0的，剩下的情况都是0。 不过呢，讲清楚这个QA这个举证呢，我们需要说一下这个。Qn是什么，原先的那个Q举证，把前面的那个删掉一些block，从行和列上都删掉一些block。剩下的呢，我们从levelN开始列，这样的话，我们得到一个Qn值的，就是把以前的Q举证删掉一些，我们得到一个新的Qn举证。那么这个Qn举证的，通过这个Qn举证，我们可以定义一个新举证叫做基础举证。它的定义是这里已经给出了。 这个基础举证，我们用这个Qn这一个衔接，保证Qn。这个Qn，实际上这个举证也是以一个block的这个形式给的。它的最左上角的那个block呢，就是我们前面出现的那个Qn那个。所以，这个RL举证实际上是A举证乘上QA的那个举证。关于这个RL举证，实际上是概率解释的。这个RL这个举证是什么，它的元素，因为它是一个block，它是一个块。它的第i，j元素呢，实际上这个h是什么呢，是这么一个东西。 你假设这个过程，开始是从LI这个状态开始，也就是levelL开始，相位是I这个开始。然后从这个开始，它的这个level可能会增加。level是对应着重试顾客数嘛，重试顾客数有可能会增加，那么增加以后，过段时间又回到这个L。到底这个DI这个元素什么玩意儿，是什么东西，它是一个平均逗留时间，在L+1这个水平上面，在L+1，j这个状态的平均逗留时间。这里注意，它这里写的平均逗留数量，per unit sojourn in the state（l，j），实际上是两个比值，就是说在l+1这上面的平均逗留时间，比上在l，i这个逗留时间，它的比值，再返回到水平l之前的这个时间的比值。 正如我们前面所说的，实际上因为a举证的右下角，整个a举证只有右下角那个元素非零，所以右下角元素非零的举证，乘上另外一个举证，实际上很快的发现，这个结果，得到的结果只有最后一行是非零的，剩下的都是零。这个其实概率解释是很明确的，你可以这么想，因为我们已经对这个Rl已经有了概率解释。那么，发现Rl是这么一个，只有最后一行非零，它的原因是什么呢？ 它的原因是这样，这是因为如果说服务台，有空闲的服务台，那么在orbit里面的重试顾客是不会增加的。因为orbit里面的重试顾客增加，只有通过外界的原始顾客到达是发现服务台繁忙，那这些顾客会变成重试顾客。只有这样才能使这个orbit里面的重试顾客数增加。那么，反过来就说明，如果说有服务台空闲，那么外面所到达的原始顾客就会得到立即的服务，他们不可能变成重试顾客而进入这个orbit里面。

所以，从树线上来讲，就是说这个过程呢，从Li这个状态开始，L表示有L个重试顾客在系统中。这个i是小于等于c-1的。也就是说，繁忙的服务台的个数不超过c-1，也就是说至少有一个服务台是空闲的。那么这样的话，过程是不可能达到这个水平l+1的。也就是说，orbit里面是不可能增加到L+1个重试顾客，在这个水平返回到L之前。 因为它要首先让服务台繁忙，然后才能增加重试顾客的数额。这就是解释了，为什么前面这个RL这个举证，它前面的所有行都是零，只有最后一行。最后一行对应着什么，最后一行对应着这种情况，就是说它是有L个顾客，而且这个所有的服务台都已经被占有了。这时候，新到达的原始顾客才会跑到orbit里面去，才会使这个level增加。所以说，从这个意义上讲的话，刚才这个R举证的直观解释也是很明显的。 OK，现在让我们回到前面所说的这个，我们已经知道了这个R举证，RL举证，所以我们可以写出它的举证及形式解，有关这个系统的πn。它们有这么一个关系，πn实际上是π0乘上r1、r2...rn。进一步写，由于我们刚才说的这个特殊的结构，r这个特殊的结构。也就是说它的最后一行是非0，其余全是0。那么，我们可以很快把这个πn给写成这种形式，写成一个形式，这个形式是在定理1中。 它实际上是什么呢，我们仔细看一下这个。后面这个括号里面这个东西，实际上就是R举证，Rn举证的最后一行。而前面这个是R1c，R2c，这个R1c是大写的R举证的最右下角的那个元素。大写的这个R2c，实际是大写的R2举证的最右下角的那个。所以，这样一种群体的形式，写成这种形式，就是说前面有个常数了，π0c，然后是这样一个程序去写。然后乘上这个Rh这个最后一行。 所以，从这个定义中我们可以看出，如果我们知道了所有的这个Rn，所有的这些R带着下面下标这些，我们下面的π就已经获得了。也就是说，原先我们是想求稳态概率π，确切地说，我们想出这些πn，实际上从现在开始，我们可以想着，只要我们能够求出、获得有关小写的r这个nk的结果，实际上πn就很快通过定义把πn给写出来。 所以，我们现在的注意力呢，就是放在小写的rnk上面。好，真正去获得小写的rnk，我们讲使用这种技术，实际上就是什么，就是马科夫链的三结技术，我现在就介绍一下这个。 考虑一个马斯链，它的状态空间呢是大写的S，假如这个状态空间可以分成两部分，也就是说这个状态空间的集合可以写成两个集合的，不相交的集合的并。一个叫做S0，一个叫做S1。马科夫链的无形是Q，当我们把状态空间这样拆分以后，就是状态空间这样拆了以后。这个Q举证呢，相应地也可以拆成这样，写成这种快举证TULJ。这个T呢，对应着这个从子集S0到S0，U呢是从子集S0到S1，就是这样。L呢是S1到S0。 总而言之，我们可以把也写成这种形式。在把Q写成这种形式呢，接下来我们要定下来一个新的举证，这个新的举证呢，也就是删节了的举证。就是在Q举证的基础上，进行删节，来得到这个。我们是这样删节的，就是说我们把注意力放在子集S0身说，S0上面。也就是说我们把这个状态空间呢，这个删节，我们把注意力只放在S0身上，去定义一个新的句子。这个新的句子呢，我们叫做Q，但是上标S0。这个句子的定义的，下面已经给出了，它实际上是T+U，U举证就是以前拆分的那个举证的U举证。U，然后DA，这个DA实际上是原来给出来的，这个DA的表达数也是给出来的。它实际上是由D的和表示，D1、D2、求和的形式表示的。 这样的结果是，我们这样所定义的QS0呢，它仍然是一个无穷小生成元。也就是说，它仍然定义这个新的马斯链的无穷小生成元。也就是说，我们通过这个技术，从原来的马科夫链的生成源出发，去定义一个新的马科夫链的生成元。这样的新定义的无穷小生成元，和原来的马科夫生成源，他们所定义的这个平稳的分布有一定的关系。确切的说，他们的这个不变测度，这两个马斯链的不变测度，实际上在S0的这个集合上面，仅仅相差一个常数倍，这个是已有的结果。 确切地说是这样的，如果原先的这个马斯链，它有平稳概率，比如说这个平稳概率，就是我们说的这个是一个π，这个平稳概率。那现在呢，我们把注意力，假如说我们把注意力放在S1上面，那么我们可以通过一个定义，通过前面的这个定义，定义出一个新的无穷小生成元。那么这个无穷小生成元对应着一个平稳概率分布。那么这个平稳概率分布，跟原来的我们的叫做πS1，这个πS1和原来的平稳分布，实际上就是原来的πk除上底下的这么一个数。这个底下的数呢，就等于把所有的以前的那个π，在S1这个集合上面的和加在一起。 所以说，原来的π呢，除上这个数，就是新的所获得的无穷生成元的平稳测度。从这个意义上来说，它们只相差一个常数倍，这是一个