这些方程都有一个明确的解释，比如说我们就解释第一个，第一个你看这个g1什么意思呢？实际上，因为是1状态，1状态它的buffer的容量是增加的，所以说其实是上传0这个水平的频率，那么上传0频率应该等于什么呢？它进入0只能是一种循环，原先系统是off状态，不仅是系统off状态，buffer容量是0，这时候系统突然成on了，所以说我们就可以得到第一个方程。 类似的其他的方程也可以类似的解释，此外我们还有一个正值条件，也就是说把所有的概率加在一起，它一定是等于1的，现在想一想我们已经有多少的未知数，原先有3个，有a1、a2、a3，有b1、b2、b3，一共是八个未知数，现在我们有八个方程，实际上我们有八个独立的方程，这八个独立方程可以让我们进一步求出这些待定的函数。至此实际上我们已经把所有的概率支点和B的函数求出来了。求出这些概率分布，系统的平稳分布的目的是要研究系统的性能指标，系统的性能指标我们来看看，第一个系统的性能指标我们被称之为the probability of messoge being transmitted successfully，就是成功一个Message被成功传输的概率，我们知道这个Message可能不能被成功的传输，原因是什么呢？buffer已经满了，这样有些信源丢失，所以这样Message就没有被成功传输。还有一种buffer虽然没有满，但是按照我们的控制策略，我们不在允许成on的Message传输它的数据进入buffer。这会导致Message没有被成功的传输，成功传输的概率是多少呢？这当然是一个很重要的性能指标，成功传输的概率是这样写的，1-不成功的概率，不成功的概率表达式我们已经给出来了，别不打算去推导，简单的说一下它的思想，实际上它与交替更兴过程有些关系，有些过程我们省略了，从这个我们可以看出，因为这几个我们都有了，我们这些都求出来了，g1、f1都求出来了，f（0）这个表达式也有了，包括那些待定的常数我们都定下来了，所以说计算这个是没有问题的。这是第一个性能指标叫做成功传输的概率，Message被成功传输的概率。 第二个重要的性能指标叫所谓的Goodput，这个Goodput实际上应该是两个词的合并，它的定义是什么？它是一个比值，分子是被成功传输的Message所包含的信息，分母是全部信息由数据源产生的数据，我们我们数据源产生的信息并不是所有的信息都被传输，有些是被放弃的，根本节没有传输完就被放弃了，成功传输的信息量的比上由数据源所产生的全部数据。假设c（n）表示第n个周期的常数，我们知道每一个on周期，每个on周期都代表一个Message，实际上就是表示第n个Message的常数。 那么at a实际上是这样第一的，如果这个Message被接受了，也就是说当这个Message开始的时候，成on的时候，当这个刚刚成on的时候，也就是说在那个时刻buffer的容量水平是低于它的法值C*的，即使是低于它也不能够保证，我们说如果再一个on周期开始的时候，buffer的容量是低于阀值的，这并不能保证这个Message能够被完整的传输，只是有比较大的希望被完整的传输，因为这还取决于Message的长度，如果说Message长度很长，它还有可能，这个法值C*是低于C，但是Message很长的话，很长的时间里面，可能buffer还是有可能会满的，如果一旦满了的话，这个Message还是没有被成功的传输。 所以说我们这个实际上定义成什么，如果没有传输成功，或者根本就没有接受，它就等于0。如果接受了，并且成功传输了，很显然Goodput应该是了，所以我们可以得到这么一个比值。有关这个均值。 刚才我们说的是单源的情况，那么多源的情况是什么样呢？也就是说我有多个on/off源的情况，方法是一样的，只不过变得更复杂一点，如果是多源的情况变得更复杂一点，因为不想花很多的时间在这个复杂的表述上面，所以说我们就跳过它，在后面的数据结果中我们展示它的结果，不再写这些繁琐的方程。 好，数据分析，这个数据分析里面先给了一个例子，是讲单源的模型，也就是说大N=1，就一个源，容量是10，流入率r是1.5，流出率是1.15大于C，β、α都有，OK，这是第一个性能指标。纵坐标代表成功转移的概率，横坐标代表着法值这个C，控制法值C*。可以看出这里有三条曲线，三条曲线对应着不同的α可以这么说，这个α是对应着on周期，所以α的导数实际上是平均on周期的长度。也就是说如果说这个α越小，就意味着那个on周期越长。换句话说，α越小就意味着Message越长，Message系统的负载就越大。所以说它成功转移的概率就应该相对比较小，这很简单。α等于1/4的时候，这个曲线等于1/4就低于α等于1/

再看看第二个性能指标叫做Goodput，它是一个比率，这个Goodput一看它是一个on函数了，这三条曲线对应着是不同的α的值，α比较小是在最底下，α比较小刚才我们说了Message长度比较大，长度比较长，所以说它的Goodput就小于其他的值。另外我们从这里可以发现，它有一个最优的法值，这些都是on函数了，所以说它都有一个最大点、最大值，在什么情况下都有最优的法值。 把我刚才讲的这个总结一下，尽管成功转移的概率是增加的，随着法值的增加，但是这种上升的趋势逐渐变得平缓，随着法值的增加逐渐变得平缓，这点看第一个图很明显，逐渐平缓，当法值增加的时候。但是增加的越来越缓慢，第二个结论，这两个性能指标P成功转移的概率和Goodput都是在递减的，随着Message长度的增加而递减，对我们来说是合理的。第三个它的最优解是存在的，最优解至少从数字计算的角度上我们可以看出这些最优解是有的，的确是有一个能让这个Goodput达到最大值这个点。 多源情况，我们考虑一个4源的情况，因为多源的情况我们没有展示它的数学推导，避免繁琐的公式，所以我们要花一点时间看看它的数字结果，这个N是等于4，其他的C是10，r每一个单的源传输的都是2，整个buffer里的数据以3.5输出，因为现在四个源，所以说这个没有问题的。 OK，我们来看看它的数据结果，这是它的数据结果，对四源模型的数据结果，因为我们α现在是取1/2，3/4，最小的是1/2，α最小说明它的Message长，因为它的导数是平均Message的长度最大。所以这个结果跟前面的那个单源的情况结果，图形有些类似，Goodput结果仍然是一个on函数，所以说最优的法值还是存在的。在这种情况下，这个就是第一部分。