这个加权的和我们有了，下面我们讲乘积。假设f（i）是随机变量分母函数的变换，这些随机变量是独立的，它们的乘积实际上乘积可以看作随机变量和的变换，或者随机变量和的分母函数。我们底下这个记号X这个等号上面有个定量表示质量，X、Y是相等的，它的意思指的是他们的分母函数是相等的。 OK，有了上面的这些准备，我们现在看这个系统，看这个先到先服务的系统，我们先讲第一个服务规则先到先服务，FCFS，我们假设系统是处在稳态，然后我们用L表示系统中的顾客数，用X-表示已经过去的服务时间，就是说比如说有一个顾客正在接受服务，他已经服务了多长时间，这个用X-表示。X+表示还剩下多少时间，就是剩下的服务时间，还有多少时间是剩下的服务时间，因为这个系统实际上是一个比较经典的系统，有关分布函数表达式是有了，并且这个L和X-联合分布，实际上是一种密度函数，表达式也是有的，这个结果这里我们引用的是Takagi的书上1993年那本书的结果，我们努力的把记号保持一致吧。所以说我们可以看到这个Pk（x），总而言之这些Pk和Pk（x）这些结果都是有的。 接下来我们要在这个基础上研究等待时间和忙区的分布，首先我们看一下这个结果，这个结果是联合概率分布，也就是说对象等于k，剩下的服务时间大于T，我们来看看这样一个联合分布它的表达式。通过一些推导，简单的推导我们可以得到这个结果，我们发现让这个概率除上它的，然后我们进一步得到下面的这个表达式。OK，现在我们取局限，下面我们怎么取局限，我们准备取局限，让T趋向于无穷，T趋向于无穷以后，然后把我们前面所有的Pk还有Pk（x）都代进去，那我们就得到一个简单的结果，这个结果实际上是从0到k的和，这个结果我们待会儿要用，因为它是告诉我们服务时间剩余服务时间，就是x+和wait的服务时间概率分布的关系。 现在考虑系统，我们假设我们说的系统已经处于稳态了，有一个顾客到达，他看着系统有L个顾客，不包括他自己，他看到已经有L个顾客。剩余服务时间是x+，当然如果没有系统是空的话就没有剩余服务时间，因为没有顾客在系统，如果系统不空的话，假如是x+。有一个重要的性质叫做PAST，PAST是什么呢？就是说如果是到达你的观察是按照过程来看系统的话，你看到的系统的状态的分布实际上跟这个系统长期的时间平均值的分布是一样的，这就是为什么说Poisson arrvals see time average，就是说如果是观察是Poisson过程那个时间点，你可以看到你所看到的这种，我们所看到的系统的状态实际上跟长期平均的状态是一样的。这就是说为什么说，因为在我们这些系统我们到达过程是Poisson到达，所以说我们有一个贴了标签的顾客，我们假设说一个贴了标签的顾客看到L个顾客，还有剩余服务时间是X+。这个L和X+实际上跟我们前面所说的稳态的那个结果，长期时间平均值的那个稳态结果其实是一样的，因为他们有等价关系，其原因就是说Poisson。那么这个贴了标签的顾客到达，讨论他的等待时间，这里有个问题，就是贴了标签的顾客到达，如果系统已经满了，这个顾客实际上是被阻止的，是不能进入系统的。那也就是说只有当buffer中间还没有满的时候他才能加入这个队伍。那么我们这样说，所以我们假设我们用这个表示等待时间，也就是说贴了标签顾客的等待时间，我们知道这个等待时间有可能等于无穷，如果他被阻止，不允许进入的话，这是我们的定义，那么他的等待时间就等于无穷大，那么如果等于0，系统就没有顾客的话，他立刻就接受服务，所以他的时间等于0。如果说有k的顾客，有一个肯定是在接受服务，这个接受的服务剩下的服务时间应该是x+。还有k-1还没有服务，这些顾客都得必须在我这个顾客得到服务之前服务，所以说它还有一个和。这个非常简单。 从这个表达式我们可以写出等待时间，实际上我们说等待时间w是这样定义的，假设w是被接受的到达的顾客的等待时间，所以这里是有一个前提，我们假设这个顾客已经被接受他的等待时间，所以它是一个条件概率了。实际上W>T，并没有达到最大值，已知是小于等于k-1的。也就是说这个到达是被接受的。那么我们可以从这里出发，可以写出从前面的表达式。那么定义2.1，这个就是说第一个结果了，它是对先到先服务的情况，FCFS的情况，我们得到这个结果，就是根据上面的那个结果我们可以证明这个定义。等待时间的伪概率除上服务时间的伪概率，实际上是等于k-1并不是那么直观的，但是这个结果非常简单。

OK，等待时间我们的结果是有了，下面看看盲区，盲区长度，我们用An表示，盲区的length变化我们用αA表示，盲区的这个变化，盲区这个Length变化实际上是有一个迭代的表示，这个思想是什么呢？在我们讲那个表述之前我们可以这么说，他是说当这个buffer容量是1的时候，这个系统有一个盲区，你考虑这样一个系统，buffer容量是1的时候这个系统盲区是什么。然后再考虑buffer容量是2的时候，这个系统的盲区是什么。然后再考虑buffer容量等于3的时候，这个系统的盲区是什么。那么我们会发现，buffer容量等于3的这个系统的盲区，可以由buffer容量等于1的盲区和buffer容量等于2的盲区表示出来。也就是你想得到buffer容量等于3的时候的盲区，Length变化你需要研究buffer等于1的系统还要研究buffer等于2的系统，把它们的盲区都算出来，你就能得到buffer等于3的时候的盲区。同样你想得到buffer等于4这个系统的盲区，那些系统buffer=1，buffer=2，buffer=3的系统，这就是这个表述。 α是盲区的，这里涉及到一个Uk是这种形式，那么我需要指出的是这个Uk其实不是一个，它是一个变换，但是他不是一个分布函数的变换，那不要紧，我们稍微做一点改动，我们可以定义一个新的分母函数，然后可以把这个式子改一改，我们知道B是表示服务时间，我们在服务时间分布的基础上定义一个新的分布叫Bk（t），那Bk（t）是以这样的形式定义的，Bk（t）实际上是一个分布函数，这点不难检测，Bk是一个分布函数，这是我们定义的分布函数。它的length变换以后我们就可以把它写成，这个B的length变换，Bk的length变换我们用来表示。OK，Bk是分布函数，它的length变换是前面的Uk之间的关系就差一个常数倍。所以说从这个意义上，前面那个Uk不是分布函数的变换，但是我们的（……）。所以中间只差一个常数倍，我们把这个Uk用来取代，这我们就可以大家下面这个式子，把前面的式子，很长那个式子现在写成这么简单，两部分，前面一个分数乘上后面一个β0。我们一个一个来讲，前面那个分数大家看上面是1减去什么，我们马上可以感觉到，这个东西非常像一个奇数和的Length变换，前面我们已经把这个先提出来，实际上它就是一个几何和分布的，这里的由底下这个表达式，现在看起来还是很复杂，我们要说如果它对应着一个分母函数的话那没问题，上面的那个分数的形式就定义做一个几何和，是不是定义做一个分布函数的答案是肯定的。我们再迟点时候再研究这个，先把上面的这个式子盲区的分布，从它的变换中间把它写成一个形式，就是说盲区An实际上从分布上来说，它是等于一个随机变量B0，那B0的变换实际上我们已经给出了，就是β，是两个随机变量的和，前面一个随机变量是B0，后面一个随机变量是Xn，Xn分布函数是什么呢？它的分布函数，是这么一个分数的形式。OK，不仅是B0，对所有的Bk它都是（15：10），这里有一个简单的推导，就不详细的说它了。 然后第二项这个Xn，我们知道Xn它的变换是什么呢？它的分母是1-C18×，我们说了这个随机变量的分布函数的变换，其实这里我们已经把它写出来，写这个并不难，只要我们仔细的观察一下它，再用上前面我们作为准备的时候，列出的那些变换的一些性质，就可以写出来，OK，为什么Dn，这个随机变量可以写成这种形式，实际上是用了前面的我们准备工作所提及的那些性质。 看看最底下这一项，最底下有一个，里面这项实际上它对应着是一个随机变量的分布函数的，从这个表达式我们马上可以写，用前面那个性质马上可以写，实际上是等于Pk，这么一个，都是这种显示的表示，所以研究它的概率分布是没有问题，这个Tn伪概率是什么呢？这里是写成这种形式，我们可以看出来，Bn是一个，但是Tn不是，Tn实际上是跟服务时间分布的尾巴差不多，除上一个常数，所以Tn它是一个，那么第一个结果，关于盲区的这个结果，有上面的这个准备，我们会得到一些盲区的，因为这时候我们已经把盲区的分解成一个，通过一步步的分解，已经分解成随机变量的和或者是一些组合这种形式，这样的话研究它的伪概率是不困难的，这里这个定义1是阐释了这个结果。盲区的伪概率是间接的等价于一个常数乘上服务时间的伪概率，这个常数是什么呢？常数可以有一个迭代规律，一个迭代表达式所写的出来，由h1可以得到h2，这样写。不证明，列出这个结果。 现在接下来我们想展示一下后到先服务的结果，后到先服务是这样，他到达的时候现在在系统里的顾客，处在正在服务的顾客必须服务，剩下等待的顾客，都不可能在我刚刚到达这个顾客服务之前服务，但是在我后来到达这个顾客，都必须在我服务之前服务，这是后到先服务的一个特点。当然新到达的顾客要等正在