第二个问题是有关MGEK这个Q的盲区和等待时间，这里服务时间被假设为是特殊服务时间，关键问题是伪概率的渐进性，也就是说伪概率分布的渐进行为，这里这个图所显示的是一个M/G/1/K的排列，这里K表示最大的对长，这里这个K包含了位置在服务台上的位置，也就是说有K-1个等待的位置，有一个在服务台上的位置，所以说这里这个容量指的是K-1个等待位置，和有一个被接受的服务的位置，服务台上的位置。顾客到达是根据Poisson到达，他的到达率是服务时间它的分布，它的服务时间我们用X来表示，尾巴分布也就是说分布函数是X小于T，尾巴就是X大于T，所以为了方便起见，我们用B表示分布函数，就是它的伪概率，伪分布。所以以后我们见到，实际上就表示服务时间大于T的概率。服务规则可以是先到先服务和后到先服务和随机序服务。 主要结果，这个主要结果是关于等待时间和盲区的伪概率的间接性，第一个式子它等待时间大于T，W表示等待时间，等待时间大于T的概率，我们前面说的实际上它是一个记号，它就是表示服务时间大于T。等待时间大于T的概率，除上服务时间大于T的概率，这个T趋向于无穷，我们看看这两个比值，最终我们发现我们的结果，这两个比值实际上是一个正常数，既不是0也不是无穷大，从这个意义上来说，等待时间和原来的服务时间，他们的伪概率是渐进的，有一个渐进的关系，可以粗略的这么说，等待时间的伪分布，实际上是渐进的等于常数c乘上服务时间的伪分布。你可以把这个分母乘到右面去，对盲区又有一个类似的结果，盲区的伪分布除上服务时间的伪分布，等T趋向无穷的时候，他趋向一个正数，在大于0小于无穷的正数，这实际上准确的描述了等待时间和盲区的伪分布的渐进性。 文献，我们前面的这个结果实际上是说，我们这篇文章，这个工作的结果实际上是关于有限buffer，有限系统，也就是说有限buffer的有限对长。如果说无限等待空间，也就是说等待空间可以被无穷大，这方面结果已经在文献中出现了，这里我列了一些结果，像1994年Glynn和Whitt的结果，他们研究的是等待时间，还有Boxma和Cohen的结果，还有一些关于盲区也有结果，是Meyer和Teugls，还有最近的一些结果像Foss和Korshunov，有关1999年有一部分工作，这些结果已有的结果都是对无限buffer的系统，有限buffer的系统据我们文献检索来看还没有，所以说我们的文献回顾主要是放在无限buffer的情况，看看无限buffer的这个情况。无限buffer和有限buffer的情况，我们那个结果是等待时间的伪分布和服务时间的伪分布有那么一个比值的关系，无限buffer的情况那个结果就不一样，我把它列出来，这里是想展示一下它的区别。无限buffer这个情况实际上我们看，我们用这个I表示积分的伪分布，也就是说这个，它不是我们前面等待时间的伪分布，因为等待时间的伪分布，等待时间的伪分布有一个关系，这个分布实际上是被称作为积分的伪分布，已有的比如说结果关于无限buffer这个情况的结果，我们列出来，这个文献中的结果。等待时间的伪分布，这个伪分布，也就是说这个不是服务时间的伪分布，但是它是一个新的分布，是由服务时间的分布所定义的一个分布的伪概率。所以说这个是有区别的。确切的说是套了一层积分在那个地方。 OK，因为我们关心的是分布，假设服务时间是重伪的情况，那么自然要说了什么是重伪什么是轻伪，其实说清楚重伪和轻伪并不困难，关键是因为X是一个随机变量，我们说X是有轻伪的呢，如果它的那个也就是我们这里写了E，然后里面是指数，如果这个函数对任何一个是有限的话，那么这个是轻伪，轻伪的意思就是它的概率分布实际上，它的概率分布实际上是衰减，以指数或者比指数更快的速度衰减的，常见的轻伪分布有指数分布，指数分布可能是轻伪的。甚至说有的随机变量它的取值不可能取到无穷，最大取值是某一个常数，它没有尾巴，这种肯定是轻伪。甚至有些叫做truncated normal，指的是因为normal可以取从负无穷到正无穷，我们这里考虑的是时间随机变量不能取负无穷，所以在这个基础上定义的normal分布，阶段的normal的分布，实际上阶段的normal分布它的伪概率衰减已经比指数还快了，很自然它是轻伪的。 那么重伪，不是轻伪就是重伪，话反过来说，它的函数对所有的大于0，不管多么的小，这个函数一定是等于无穷大。这反过来在一定程度上可以给我们一种感觉，它的伪概率是相对轻伪来说它的伪概率是比较大的，所以说平均值就是取期望值它等于无穷。典型的有Pareto和Weilbull，Weilbull它的参数的R的要求在0和1之间，或者对数正态分布也是要重伪的，还有Regularly varying，它都是重伪的。 重伪、轻伪，它们的区别实际上严格意义

第一个性质它的伪概率，你看这个比值上面是X大于x+y，底下是X>x，这个极限是等于1的。这说明什么？这就说明这个极限不仅是等于1，它是一致的，加上一个有限的量，或者这么简单的说，F8X加上一个有限的量，除非我们这个分布是次指数分布有一个原因，有下面的这个结果，就是说为何一个指数项e乘上这个伪概率，都会趋向于无穷，只要这个大于0，也许这个就是为什么我们称之为次指数一个原因。 还有一些性质我们需要用到，第一个假设这个Y1、Y2它们是独立的，而且它们的分布与F，F是一个重伪，首先F是一个次指数，像F是一个次指数，还有随机变量，它们的伪分布跟次指数分布的伪概率比值实际上是趋进于一个常数。那么和的随机变量，也就是说把这些Y、I加在一起和的随机变量，这个随机变量这里漏掉一个，和的随机变量大于X的概率，实际上就等于把这些所有的a加在一起，作为上面结果的一个推论，就是下面的如果F1和F2是两个分布函数，那F1是次指数了，F2比次指数要新，那么F1-F2，F1-F2实际上是对应着两个随机变量的和的分布，它的主分布实际上是渐渐的等于重的次指数分布。这个性质我们以后也要用到。 还有一个重要的结果就是所谓的几何和，这个几何和是什么？简单的说就是说我们有一个随机变量序列Yi，它的分布是Fx。还有另外一个独立的随机变量是N，这个N是几何分布的。那么我们现在考虑，N是个随机变量，这个随机是一个几何随机变量，这个几何随机变量个Y个和就是叫做随机和，这里我们写的S下标是N被称作为几何和，本身你看Y1+Y2，一直加到YN，所以是几何个随机变量的和就叫做几何和。 有关几何和的分布函数是很容易写的，因为几何分布假如分布函数用Gx表示的，Gx实际上就是一个求和，它的length变换，求和的length变换，也就是几何和的分布函数的length变换很有意思，很简单。length变换的分母就是1-p是一个常数，这个p就是几何分布指定的常数，这个分母是什么呢？分母是1-P乘上F，1-P，P还是那个常数，乘上F，F是什么？F是那个分量的的Length变换，也就是Fx的Length变换，我们也成FS。这个式子很有用，在接下来我们会用到这个，就是说分子是1-P，分母是1-P乘上一个的分母的Length变换，我们看到这个形式就会想到，这个实际上是对应着一个几何和，这一点我们以后在分析盲区的时候很有用。如果说这个分量是次指数分布，几何和的伪分布我们有这样渐进的等价关系和它的增量，列在这个地方。所以说几何和的伪分布跟增量的伪分布，就差那么一个常数，常数是什么？常数是一个P除上1-P，乘上这个常数以后，它们两个就是渐渐的等价了，接下来实际上是比较简单的结果，但是我们把它列在这个地方，因为我们接下来要用到，如果说这个f是length变换，是某一个随机变量分布函数的Length变换，然后这个Pi是非负数，它们假设有n个Pi，所以它们和是等于1，这实际上就相当于一个概率分布了。那么求和这个Pi、Fi实际上是什么呢？是这样一个随机变量的分布函数的变换，这个随机变量是什么呢？就是说这个随机变量X它跟随机变量Y取相同的值，以概率Pi取相同的值。也就是说概率P1，这个随机变量取Y1，概率P2，随机变量取Y2，这意思。如果这样定义一个随机变量x，这个随机变量分布的就是一个加全和了。