OK，这里是一个典型的样本路径，就是说单源的on/off源的样本路径，这里从这个样本路径可以看出，黑色的代表着admitted on，也就是说允许的on，灰色的是代表着放弃的on，空的是代表着off状态，看第一个吧，第一个这个黑的部分，因为我们假设流入是大于流出的，所以它是增加的。然后discorted on，那就是说我们不再流入了，为什么不再流入？因为我们不再接受这个源的流入，它就变成下降了。它的一个样本路径典型的样本路径。 我们现在要研究这个过程，注意现在因为第一个指标是X，X是一个连续变量，它可以从0到C这个之间取值，所以正是因为连续变量，所以说能描述它的概率的话，我们用概率密度描述，下面是一些定义了，比如说F1X可以想象是很小的一个量， UV，它是一个演变量的过程，所以我们还要考虑它的源的状态，因为源的状态是1，所以i是1，i用来记录数据源的状态它是1，表示adimitted on允许的on，类似的解释可以对于解释。另外还有一些概率，因为这个过程它有时候会逗留在某一个水平，在某一水平会逗留一段时间，所以这样的话，看这个过程它的稳态分布的时候它就有一些概率质点，因为它会在有一些水平上逗留一段时间，在0这个水平上，也就是说buffer空这个水平上，一般我们假设这个用PI0表示，很显然如果说adimitted on，只要是数据源的状态是1的话，就不可能停留在0水平，所以说P10是等于0的，这个很显然。 OK，为了进一步分析这个密度函数，获得这个密度函数，我们需要一些准备工作，这个准备工作我们需要这么一个gi（x），gi（x）是这样音译的，实际上gi（x）是平均的频度，平均的频度对于这个过程来说，对于这个过程穿越水平线x，平均穿越的频度。所以我们这样定义，我们假设这个M，xi（t）表示穿越次数，中间这个i对应着数据源的状态，所以我们记录这个i。这个t从时刻0到T，从时刻0到T，这段时间里面总共穿越了多少次，穿越什么呢？穿越这个buffer超过水平x，一回落下水平x，到底在这个过程中穿越了多少次。同时记录了数据源的状态，有时候是上穿有时候是下穿，所以很明显这个表达式告诉我们gi（x）实际上是平均穿越频度，在水平x的平均穿越频度。gi（x）和我们以前所说的密度函数，很紧密的联系，这个联系可以通过一张图来看出来，这张图实际上是看这张图，我们这张图只是考虑一个特殊情况，数据源的状态是0，也就是说数据源是处于off状态，处于off状态再一个很小的时间，state这个时间里面，它的buffer水平实际上是减少的，也就是说这里画的斜线的斜率实际上是一个-c，因为off状态是没有fall in的，有没有流进只有流出的，流出的数据是c。所以它的斜率是-c。通过这个图我们可以看出它的斜率是-c。然后这个密度函数，密度函数实际上是对也着纵坐标，实际上是一个概率，水平维持在x-stateX，是x之间的一个概率，不过这里我们可以看出一点点推导，我们就可以得到平均参与频度实际上跟密度函数有个很紧密的关系，他们所相差一个常数倍，正是由于这样，所以说在后面讲述中有时候为了方便起见我们就用f，f就是概率密度了，有时候我们会用穿越频度用j，实际上它们只差一个常数倍，而且表达式给的这个地方。

所以我们可能会交替的使用根据需要。下面我们准备获得稳态方程平稳方程，系统的平稳方程，我们知道这时候buffer的容量是在0和C之间，但是这个是小于C，它实际上是一个法值，这个法值导致buffer的容量改变，在0到C*和C*到C之间，这两个部分的改变规律是不一样的。没有用任何控制，只要是on就是adimitted，但是在L2，现在我们分别来讨论，先讲L1，也就是说这个水平低于这个法值，任何成on的源都会被接受，也就是说被成为admitted on。我们的方程主要是通过下列方式获得的，我们考虑一个从状态空间x（i），我们知道x（i）是随机过程，假设已经处在稳态，那么处在稳态的话，从它的状态空间中的任何一个子集我们可以想像，流入这个子集，这个状态改变流入这个子集的频度或者是wait，应该是跟流出这个子集的wait是一样的，不然这个系统就平衡不了，任何一个积分利率，进去和出来都是，否则就膨胀就爆炸了。所以说流进和流出应该是一样的，只有这样系统才能平衡。我们下面这个方程就是基于这个思想给的。 第一个方程是平衡了这个，第一个方程比如说这里的下标在左手边，g1、f1，这些1是对应着上面这个子集i是1的情况。第二个方程是对应i的情况，第三个是对应i是0的情况。我想把第一个方程解释一下，仅仅是就第一个方程给出解释，这里我把第一个方程重新写在这里是为了方便起见。这个方程的左边，看它的左边，这个左边实际上是流出的，实际上从这个集合，从0到x乘上1这个集合流出的率，为什么是流出的率，你看看第一项，第一项是g1（x），g1（x）它实际上是什么？是这个水平上穿水平x的频度，因为这时候数据源的状态是1，数据源的状态是1，那么buffer的容量是在增加的，上穿也就是说容量超过x，因为这个集合是0到x，超过x就出来了，从这个集合里出来了，所以说上这个频率。 它的第二项上穿或者是离开这个集合的频率，第二项这个buffer的水平仍然是在0和x之间，当然了它的状态是从乘上α，α是从on到off，所以说原先是1，数据源状态是1，离开了1变成了0，实际还是离开这个集合。整个左手边实际上是出来的，从这个集合出来的，看看它的右手边，它的右手边是像进去的right，为什么说是它是进去的right？f0，这个β函数是f0，对应着off状态，从off变成on，这个right本来是0状态变成是1状态，进去那个集合的状态，出来的进去的相等，就得到上面的这个方程，这个就是我们前面的第一个方程，前面这些方程实际上是对于x，buffer的容量在L1里面，也就是0和C*里面。在L2里面方程又有一些方程，也是解释是类似的，我们平衡这个过程进入和出来相同子集的，然后我们可以得到这三个方程。OK。这是X属于L2，前面那个是X属于L1，这个是X属于L2。这是积分方程，积分方程如果我们关于变量X求导数，我们就可以得到微分方程，你看这个微分方程，实际上就是微分方程组了，这个微分方程它不同的区间，也就是说L1和L2，X属于L2和X属于L2它的微分方程表达式是不一样的，也就是说底下那个G1和G2是不一样的，不管我们怎么说，我们会获得这个微分方程。那么微分方程求解这是它的解，分别是X属于L1的时候，我们知道这个F现在这个F是一个向量，它用这个来表示，这里因为涉及到6个参数，因为有L1、L2、L3，B1、B2、B3。所以这个解还有6个参数待定，目前还并不知道。要确定这个参数，同时还有一些概率质点，因为它在我们前面所说的它的概率分布由两部分组成，概率密度我们已经有一个基本的表达是在前面，就是这个F。概率质点我们还没有讨论，它与过程在这些状态的逗留时间有关。 同样我们会得到一些方程，通过平衡这个过程，会出来这些特殊的点，我们会得到这样一些方程，这里的0这都是记号，这个记号你可以把它理解成0加上一个剩的无穷小量，也就是说它是一个极限性的，0加上一个正的无穷小量的意思。