这是一个用频率来定义失效率。 下面一个是用概率定义这个失效率，这是类似的。你看分母，分母就是时刻T还没有坏的概率，分子是T到下一个，从T开始在下一个△时间内它要失效的概率，那么去除以一个△t也就变为单位时间了。那么△t也是一个极限过程。 根据这两个定义，由于上面第一个是指频率，趋向于概率。第二个是指密度函数的定义。由于这两个值，那么很容易证明失效率，根据上面的定义很容易证明失效率跟分布函数和密度关系，跟密度函数有这么一个关系。同样，用概率的定义也很容易证明这样一个表达式。从这个表达式出发反过来可以得到分布函数，就是寿命分布和失效率函数之间的关系。也就是可靠度函数和失效率之间的关系。这个都是在可靠性里面比较注意要记住的一些公式，就是密度函数、分布函数跟失效率之间的关系，这三者之间都是能够互相表示的。 下面讲一个失效率的一个重要特点。失效率函数在通常实际应用中间这个失效率函数跟时间的关系呈现一种浴盆曲线这么一个特点。也就是说两端高，中间低。在a这个阶段，这个失效率函数呈下降趋势。为什么早期产品失效率比较高呢？当然用我们常识来理解的话，比如用人的寿命来说也确实是这样。小孩的时候往往死亡率比较高，刚刚出生不久。到了c这个阶段，人也是一样慢慢拉了年纪大了，他的死亡率也慢慢提高了。中间这个b这个阶段对人的寿命来讲往往都是青壮年、少年阶段，这个失效率基本上很平稳。因为所谓偶然失效阶段，绝大多数人的往可能是除了一些固定病理上生病的原因，更多的像车祸一些事故。用人的寿命也很容易理解这个浴盆曲线。 那么对于一般产品来说，它的早期主要是由于产品的设计错误、工艺缺陷或者是装配上的问题，或者由于质量检验不严等等原因引起的。中期，偶然失效阶段这是失效率最低的时候，应该是产品正常的使用阶段，在这个阶段产品使用最好了。那么到了晚期是产品的磨损、老化、疲劳等等原因，这个产品慢慢老化了。 研究这个规律就是浴盆曲线规律对实际工程有很大意义。在第一个阶段，人们采取的方法，由于知道它的早期故障率高，所以在工厂出厂之前往往采用筛选的方法。就是所谓说的老化试验就是剔除一批不合格的产品，以减少出厂产品早期失效的产品。以前由于并不清楚这个规律或者说没有重视这个规律，我们国家的电视机刚刚开始引进、开始生产的时候，电视机的平均寿命只有几百个小时。后来由于对电视产品采取了早期筛选的方法，把早期不合格的电视产品筛选掉了，仅仅这么一个简单测试就使得电视机的平均寿命从几百个小时上升到几千小时。所以这种规律尽管很简单，但是能够应用到实际工程问题上马上就起到了非常显著的效果。 那么在c阶段，一般在工程上通常采用通过维修或者是更换手段维持产品的正常运行。比如说在一个大的系统里面有一部分子系统或者部件已经到了阶段c，我们可以采取更换的方法换一个新的或者能够修就维修一下。所以说后期主要研究的问题就是什么时候更新，什么时候维修，采用一些什么样的维修策略。

下面讲第三个问题：元部件可靠性。元部件可靠性最早的就是从电子元器件开始，因为有传统的美国40年代、50年代开始研究电子元器件的问题。当时就发现大量的电子元器件它的寿命都是符合指数分布，就是下面这个分布。这个分布在分布函数里面，寿命分布里面是属于最为简单的一个，也是应用最广泛的，这是它的密度函数，它的平均分之一。它的失效率是常。之所以指数分布受到特别的重视，它一个重要的性格就是无记忆性。那么无记忆性是什么意思呢？大家下面看看就能够理解了。 它的剩余寿命分布，这是它的剩余寿命分布的定义，直接把上面指数分布的寿命分布带到里面计算，算出来它的剩余寿命分布和上面新的寿命分布是同样的分布。所以得到一个结论就是年龄为X的剩余寿命分布等于新的寿命分布，这两个是一样的。那么就是说指数分布的特点，这个无记忆性特点就是只要不是坏的东西就跟新的一样，它微带的寿命规律跟新的寿命规律一样。当然用我们日常生活很难理解这么一个事，但是实实在在指数分布切实有这么一个性质。而大量电子元器件又是符合这个规律，正因为这个规律，无记忆性的规律使得指数分布的应用在可靠性里面应用的最为广泛。并且因为由于它这个性质使得许多可靠性性的理论问题能够得以圆满的解决，所以说对于电子元器件指数分布的这么一个特性，在可靠性理论里面是占着非常重要的一个地位。 当然不是所有电子元器件都一定符合指数分布，到实际问题你还需要做统计检验看它符合不符合指数分布。这个下面我们再解释。 对于机械设备，后来从电子设备引申到机械设备发现很多机械设备是不符合，就是它们的寿命规律不符合指数分布的。它的寿命，机械设备往往要疲劳磨损，所以说它不是指数分布，它不可能旧的跟新的一样。那么后来就研究发现威布尔分布非常适合机械设备的疲劳、磨损方面的描述。这个就是威布尔分布的定义，密度函数、失效率函数。那么形状参数α如果等于1的话，这个指数分布就是指数分布。大于1或者是小于1的情况，它的失效率。威布尔分布也是在可靠性里面用得非常广泛的一个分布，其他还有很多很多分布。我就不一一讲了。伽马分布、及格分布、倍数正态分布、结尾正态分布，其中及格（音）分布本身并不是一个寿命分布，因为及格（音）可以正的负的，正的必须大于零的，及格（音）可以是正的负的。但是及格（音）分布在寿命分布里面研究中间是起了很重要的作用。 那么上面只是定义，定义的是一个连续随机变量的分布，也可以定义离散的寿命分布。如果两个寿命互相之间不是独立的，而是相依的，那么你还可以研究这个多维的寿命分布。就是其中有相依关系的。现在研究的比较多的也就是多维指数分布的情况，元部件主要可靠性理论工作就是关于寿命数据的统计分析，也就是用数理统计的方法。 首先是一个寿命数据的来源问题，可以是实验数据，也可以是现场数据。如果说是实验室的实验数据，这个通过实验的设计什么可以拿到比较准确的寿命数据。如果是现场数据很可能情况比较复杂，因为各种不同的环境因素，寿命有不同的表现形式。所以对于现场数据来说，你还要经过一定的加工整理，如果两方面数据都具备的话，你还必须把现场数据怎么能够经过处理以后能够跟实验室的实验数据能够对应起来。 在可靠性里面一个很重要的特点就是不管你是实验数据也好、线上数据也好，你得到的数据可能是完全数据，更可能是不完全数据。你比如说一个电视机厂拿十台电视机做实验，做了两年以后它不可能十台数据全坏了，十台寿命数据都得到了，都坏了你得到得到，它很可能就坏了两台。你也只能知道这坏的两台是在什么时候坏，得到了它们的寿命。而其他八台呢？到两年的时候还没有坏，等于说你两年时候的定时两年来进行结尾，你得到的数据就是说两年前坏的寿命加上其他没有坏的数量，像这样一个数据就是不完全数据。这个不完全数据最终定时结尾数据，就是说你实验，比如说我就准备做几年，几年到了我就不做了，我就拿这个数据分析。当然你可以接着做，但是到了那个时候那个时刻点，你得到的数据就是这样一个数据。 那么除了定时结尾，另外一种是定数结尾。你十台电视机做实验，我规定比如说做到第三台还了我就截止了，这是定数结尾。我就能得到这三台坏的寿命，其他七台，就是到第三台坏的时刻还没有坏这么一个数据。这样就是定数结尾的一个不完全的数据